Advertisements
Advertisements
प्रश्न
ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।
उत्तर
AC और BD को मिलाएँ।
ΔABC में,
P और Q क्रमशः AB और BC के मध्य-बिंदु हैं।
∴ PQ || AC और PQ = `1/2 AC` ...(मध्य-बिंदु प्रमेय) ...(1)
इसी प्रकार ΔADC
SR || AC और SR = `1/2 AC` ...(मध्य-बिंदु प्रमेय) ...(2)
स्पष्टत:, PQ || SR और PQ = SR
चूँकि चतुर्भुज PQRS में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और एक दूसरे के समांतर होता है, इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ PS || QR और PS = QR ...(समानांतर चतुर्भुज के सम्मुख पक्ष) ...(3)
ΔBCD में, Q और R क्रमशः भुजा BC और CD के मध्य-बिंदु हैं।
∴ QR || BD और QR = `1/2 BD` ...(मध्य-बिंदु प्रमेय) ...(4)
हालाँकि, एक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।
∴ AC = BD …(5)
समीकरण (1), (2), (3), (4) और (5) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
PQ = QR = SR = PS
अत:, PQRS एक समचतुर्भुज है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति में)। AC उसका एक विकर्ण है। दर्शाइए कि
- SR || AC और SR = `1/2 AC` है।
- PQ = SR है।
- PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।
एक समांतर चतुर्भुज ABCD में E और F क्रमश: भुजाओं AB और CD के मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति में)। दर्शाइए कि रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।
ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। कर्ण AB के मध्य-बिंदु M से होकर BC के समांतर खींची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि
- D भुजा AC का मध्य-बिंदु है।
- MD ⊥ AC है।
- CM = MA = `1/2 AB` है।
D, E और F क्रमश: एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि ∆DEF भी एक समबाहु त्रिभुज है।
आकृति में ΔABC मे बिंदु X, Y, Z यह क्रमशः भुजाओं AB, BC तथा AC के मध्यबिंदु है। AB = 5 सेमी, AC = 9 सेमी तथा BC = 11 सेमी, तो XY, YZ, XZ की लंबाई ज्ञात कीजिए।
आकृति में `square` PQRS तथा `square` MNRL आयत है। बिंदु M यह PR का मध्यबिंदु है। तो सिद्ध कीजिए कि
(i) SL = LR, (ii) LN = `1/2` SQ
आकृति में रेख PD यह ΔPQR की माध्यिका है। बिंदु T यह PD का मध्यबिंदु है। QT को आगे बढ़ाने पर यह PR को बिंदु M पर प्रतिच्छेदित करता है। तो सिदघ कीजिए कि `"PR"/"PM" = 1/3`
[सूचना: DN || QM खींचें।]
संलग्न आकृति में `square` ABCD समलंब चतुर्भुज है। AB || DC है। रेख AD तथा रेख BC के मध्यबिंदु क्रमशः P तथा Q हैं, तो सिद्ध कीजिए कि PQ || AB तथा PQ = `1/2` (AB + DC)
संलग्न आकृति में `square` ABCD यह समलंब चतुर्भुज है। AB || DC, बिंदु M तथा बिंदु N क्रमशः विकर्ण AC तथा विकर्ण DB के मध्यबिंदु है तो सिद्ध कीजिए कि MN || AB
