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प्रश्न
ABCD एक समलंब है जिसकी समांतर भुजाएँ AB = a cm और DC = b cm है (आकृति)। E और F असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। ar (ABFE) और ar (EFCD) का अनुपात हैं
विकल्प
a : b
(3a + b) : (a + 3b)
(a + 3b) : (3a + b)
(2a + b) : (3a + b)
उत्तर
(3a + b) : (a + 3b)
स्पष्टीकरण -
दिया गया है, AB = a cm, DC = b cm और AB || DC।
साथ ही, E और F क्रमश : AD और BC के मध्य-बिंदु हैं।
तो, CD, EF और AB, EF के बीच की दूरी समान होगी, मान लीजिए h।
BD को मिलाइए जो EF को M पर प्रतिच्छेद करती है।
अब, ΔABD में, AD और EM || AB का मध्य-बिंदु E है।
तो, M, BD का मध्य-बिंदु है।
और EM = `1/2` AB [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा] ...(i)
इसी प्रकार ΔCBD में, MF = `1/2`CD ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
EM + MF = `1/2` AB + `1/2` CD
⇒ EF = `1/2`(AB + CD) = `1/2`(a + b)
अब, समलंब ABFE का क्षेत्रफल
= `1/2` (समांतर भुजाओं का योग) × (समानांतर भुजाओं के बीच की दूरी)
= `1/2(a + 1/2(a + b)) xx h`
= `1/4(3a + b)h`
अब, समलंब EFCD का क्षेत्रफल
= `1/2[b + 1/2(a + b)] xx h`
= `1/4(3b + a)h`
∴ आवश्यक अनुपात = `"ABFE का क्षेत्रफल"/"EFCD का क्षेत्रफल"`
= `(1/4(3a + b)h)/(1/4(3b + a)h)`
= `((3a + b))/((a + 3b))` या (3a + b) : (a + 3b)
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