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प्रश्न
यदि किसी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाया जाता है, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दिए हुए चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है (आकृति)।
[संकेत : BD को मिलाइए और A से BD पर लंब खींचिए।]
उत्तर
दिया गया है - मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है और P, F, R और S क्रमशः भुजाओं BC, CD, AD और AB के मध्य-बिंदु हैं और PFRS एक समांतर चतुर्भुज है।
सिद्ध करना है - ar (समांतर चतुर्भुज PFRS) = `1/2` ar (चतुर्भुज ABCD)
रचना - BD और BR को मिलाइए।
उपपत्ति - माध्यिका BR, ΔBDA को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
∴ ar (ΔBRA) = `1/2` ar (ΔBDA) ...(i)
इसी प्रकार, माध्यिका RS, ΔBRA को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
∴ ar (ΔASR) = `1/2` ar (ΔBRA) ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
ar (ΔASR) = `1/4` ar (ΔBDA) ...(iii)
इसी प्रकार, ar (ΔCFP) = `1/4` ar (ΔBCD) ...(iv)
समीकरण (iii) और (iv) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) = `1/4` ar (ΔBDA) ...[ar (ΔBDA) + ar (ΔBCD)]
⇒ ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) = `1/4` ar (चतुर्भुज BCDA) ...(v)
इसी प्रकार, ar (ΔDRF) + ar (ΔBSP) = `1/4` ar (चतुर्भुज BCDA) ...(vi)
समीकरण (v) और (vi) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) + ar (ΔDRF) + ar (ΔBSP) = `1/2` ar (चतुर्भुज BCDA) ...(vii)
लेकिन ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) + ar (ΔDRF) + ar (ΔBSP) + ar (समांतर चतुर्भुज PFRS) = ar (चतुर्भुज BCDA) ...(viii)
समीकरण (vii) को समीकरण (viii) से घटाने पर, हम पाते हैं।
ar (समांतर चतुर्भुज PFRS) = `1/2` ar (चतुर्भुज BCDA)
अतः सिद्ध हुआ।
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संबंधित प्रश्न
D, E और F क्रमशः ΔABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं। वो दिखाओ
(i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) ar (DEF) = `1/4`ar (ABC)
(iii) ar (BDEF) = `1/2`ar (ABC)
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है | यदि AB = CD है, तो दर्शाइए की
(i) ar (DOC) = ar (AOB)
(ii) ar (DCB) = ar (ACB)
(iii) DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
[संकेत: D और B से AC पर लंब खींचिए।]
XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा है | यदि BE || AC और CF || AB रेखा XY से क्रमश: E और F पर मिलती है, तो दर्शाइए कि:
ar(ABE) = ar(ACF)
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है और AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है | सिद्ध कीजिए कि ar (ADX) = ar (ACY) है |
[संकेत : CX को मिलाइए]
आकृति में, भुजा BC पर दो बिंदु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।
क्या आप इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि आपने इस अध्याय के 'परिचय' में छोड़ दिया है कि "क्या बुधिया के खेत को वास्तव में बराबर क्षेत्रफल के तीन भागों में बांटा गया है"?
[टिप्पणी: ध्यान दें कि BD = DE = EC लेने पर त्रिभुज ABC को बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन त्रिभुज ABD, ADE और AEC में विभाजित किया जाता है। इसी तरह, BC को n समान भागों में विभाजित करके और इस प्रकार प्राप्त विभाजन बिंदुओं को BC के विपरीत शीर्ष से जोड़कर, आप ΔABC को समान क्षेत्रफल वाले n त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।]
ABCD एक चतुर्भुज है जिसका विकर्ण AC उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है। तब, ABCD ______।
निम्नलिखित आकृति में, ABCD और EFGD समांतर चतुर्भुज हैं तथा G भुजा CD का मध्य-बिंदु है। तब, ar (DPC) = `1/2` ar (EFGD) है।
निम्नलिखित आकृति में, PSDA एक समांतर चतुर्भुज है। PS पर बिंदु Q और R इस प्रकार लिए गए हैं कि PQ = QR = RS है। तथा PA || QB || RC है। सिद्ध कीजिए कि ar (PQE) = ar (CFD) है।
समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 90 cm2 है (आकृति)। ज्ञात कीजिए :
- ar (ABEF)
- ar (ABD)
- ar (BEF)
एक समलंब ABCD में, AB || DC है तथा L भुजा BC का मध्य-बिंदु है। L से होकर, एक रेखा PQ || AD खींची गई है, जो AB को P पर और बढ़ाई गई DC को Q पर मिलती है (आकृति), सिद्ध कीजिए ar (ABCD) = ar (APQD)
