Advertisements
Advertisements
प्रश्न
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
मान लीजिए कि z1 और z2 दो ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि |z1 + z2| = |z1| + |z2| तब arg(z1 – z2) = 0
विकल्प
सत्य
असत्य
उत्तर
यह कथन सत्य है।
स्पष्टीकरण:
देखो z1 = x1 + y1i और z2 = x2 + y2i
⇒ |z1 + z2| = |z1| + |z2|
⇒ |x1 + y1i + x2 + y2i| = |x1 + y1i| + |x2 + y2i|
⇒ |(x1 + x2) + (y1 + y2)i| = |(x1 + y1i)| + |(x2 + y2i)|
⇒ `sqrt((x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2) = sqrt(x_1^2 + y_1^2) + sqrt(x_2^2 + y_2^2)`
दोनों तरफ वर्ग करे।
⇒ `(x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2 = x_1^2 + y_1^2 + 2sqrt((x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2))`
⇒ `2x_1x_2 + 2y_1y_2 = 2sqrt(x_1^2x_2^2 + x_1^2y_2^2 + x_2^2y_1^2 + y_1^2y_2^2)`
⇒ `x_1x_2 + y_1y_2 = sqrt(x_1^2x_2^2 + x_1^2y_2^2 + x_2^2y_1^2 + y_1^2y_2^2)`
फिरसे दोनों तरफ वर्ग करे।
⇒ `x_1^2x_2^2 + y_1^2y_2^2 + 2x_1y_1x_2y_2 = x_1^2x_2^2 + x_1^2y_2^2 + x_2^2y_1^2 + y_1^2y_2^2`
⇒ `2x_1y_1x_2y_2 = x_1^2y_2^2 + x_2^2y_1^2`
⇒ `x_1^2y_2^2 + x_2^2y_1^2 - 2x_1y_1x_2y_2` = 0
⇒ `(x_1y_2 - x_2y_2)^2` = 0
⇒ `x_1y_2 - x_2y_1` = 0
आगे हल करें।
⇒ `x_1y_2 = x_2y_1`
⇒ `x_1/y_1 = x_2/y_2`
⇒ `y_1/x_1 = y_2/x_2`
⇒ arg(z1) = arg(z2)
इसलिए, arg(z1) – arg(z2) = 0
इसलिए, कथन मान लीजिए कि z1 और z2 दो ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि |z1 + z2| = |z1| + |z2| तब arg(z1 – z2) = 0 यह सही है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए:
-1 – i
सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए
-3
सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए:
`sqrt3 + i`
सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए
i
यदि `(2z + 1)/(iz + 1)` का काल्पनिक भाग –2 है, तो दर्शाइए कि z को आर्गंड तल में निरूपित करने वाले बिंदु का बिंदु पथ एक सरल रेखा है।
मान लीजिए कि z1 और z2 दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार है कि `barz_1 + ibarz_2` = 0 है तथा arg (z1 z2) = π, तब arg (z1) ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए कि z1 और z2 दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि |z1 + x2| = |z1| + |z2| तब दर्शाइए कि arg(z1) – arg(z2) = 0
यदि |z| = 2 और arg(z) = `pi/4` है, तो z = ______ है।
सम्मिश्र संख्या (i25)3 का ध्रुवीय रूप क्या है?
`sin pi/5 + i(1 - cos pi/5)` का कोणांक है
दर्शाइए कि प्रतिबंध arg`((z - 1)/(z + 1)) = pi/4` को संतुष्ट करने वाली सम्मिश्र संख्या z एक वृत्त पर स्थित है।
यदि arg(z − 1) = arg(z + 3i) है, तो x − 1 : y ज्ञात कीजिए, जहाँ z = x + iy
यदि z1 और z2 दो ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं ताकि |z1| = |z2| और arg(z1) + arg(z2) = π, तो दर्शाइए कि z1 = `-barz_2`
यदि सम्मिश्र संख्या z1 और z2 के लिए, arg(z1) − arg(z2) = 0, तब दर्शाइए कि `|z_1 - z_2| = |z_1| - |z_2|`
यदि z और w दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि |zw| = 1 और arg(z) − arg(w) = `π/2`, तो दर्शाइए कि `barz`w = –i
arg(z) + arg`barz (barz ≠ 0)` ______ है।
यदि |z| = 4 और arg(z) = `(5π)/6`, तो z = ______
`(1 + isqrt3)^2` का मुख्य कोणांक ज्ञात कीजिए।
|z1 + z2| = |z1| + |z2| संभव है, यदि
जब x < 0 तो arg(x) का मान है
