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Chapters
2: संबंध एवं फलन
3: त्रिकोणमितीय फलन
4: गणितीय आगमन का सिद्धांत
▶ 5: सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघात समीकरण
6: रैखिक असमिकाएँ
Chapter 7: क्रमचय और संचय
Chapter 8: द्विपद प्रमेय
Chapter 9: अनुक्रम तथा श्रेणी
Chapter 10: सरल रेखाएँ
Chapter 11: शंकु परिच्छेद
Chapter 12: त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय
Chapter 13: सीमा और अवकलज
Chapter 14: गणितीय विवेचन
Chapter 15: सांख्यिकी
Chapter 16: प्रायिकता
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Solutions for Chapter 5: सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघात समीकरण
Below listed, you can find solutions for Chapter 5 of CBSE NCERT Exemplar for Mathematics [Hindi] Class 11.
NCERT Exemplar solutions for Mathematics [Hindi] Class 11 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघात समीकरण हल किए हुए उदाहरण [Pages 78 - 90]
लघु उत्तरीय प्रश्न (SA)
मान ज्ञात कीजिए: (1 + i)6 + (1 – i)3
यदि `(x + iy)^(1/3)` = a + ib, जहाँ y, a, b ∈ R हे तो दर्शाइए कि `x/a - y/b` = –2(a2 + b2)
समीकरण `z^2 = barz` को हल कीजिए, जहाँ z = x + iy है।
यदि `(2z + 1)/(iz + 1)` का काल्पनिक भाग –2 है, तो दर्शाइए कि z को आर्गंड तल में निरूपित करने वाले बिंदु का बिंदु पथ एक सरल रेखा है।
यदि |z2 − 1| = |z|2 + 1 है, तो दर्शाइए कि z काल्पनिक अक्ष पर स्थित है।
मान लीजिए कि z1 और z2 दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार है कि `barz_1 + ibarz_2` = 0 है तथा arg (z1 z2) = π, तब arg (z1) ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए कि z1 और z2 दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि |z1 + x2| = |z1| + |z2| तब दर्शाइए कि arg(z1) – arg(z2) = 0
यदि z1, z2, z3 ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि `|z_1| = |z_2| = |z_3| = |1/z_1 + 1/z_2 + 1/z_3|` = 1, तो |z1 + z2 + z3| का मान ज्ञात कीजिए।
यदि एक सम्मिश्र संख्या z त्रिज्या 3 इकाई और केंद्र (–4, 0) वाले एक वृत्त के अभ्यंतर या उसकी परिसीमा पर स्थित है, तो |z + 1| के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कौजिए।
वे बिंदु निर्धारित कीजिए, जिनके लिए 3 < |z| < 4
2x4 + 5x3 + 7x2 – x + 41 का मान ज्ञात कीजिए, जब x = `-2 - sqrt(3)"i"`
P का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण x2 – Px + 8 = 0 के मूलों का अंतर 2 हो।
a का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण x2 – (a – 2)x – (a + 1) = 0 के मूलों के वर्गों का योग न्यूनतम है।
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (LA)
यदि सम्मिश्र संख्याओं z1 और z2, के लिए, `|1 - barz_1z_2|^2 - |z_1 - z_2|^2 = k(1 - |z_1|^2)(1 - |"z"_2|^2)` तो k का मान ज्ञात कीजिए।
यदि z1 और z2 दोनों `z + barz = 2|"z" - 1|`, जहाँ arg`("z"_1 - "z"_2) = pi/4` को संतुष्ट करते हैं, तो Im`(z_1 + z_2)` ज्ञात कीजिए।
वस्तुनिष्ठ प्रश्न रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
'a' का वास्तविक मान जिसके लिए 3i3 – 2ai2 + (1 – a)i + 5 वास्तविक है ______ होगा।
यदि |z| = 2 और arg(z) = `pi/4` है, तो z = ______ है।
arg(z) = `pi/3` को संतुष्ट करने वाले z का बिंदु पथ ______ है।
`(-sqrt-1)^{4n - 3}` का मान ______ है, जहाँ n ∈ N
सम्मिश्र संख्या `(1 - i)/(1 + i)` का संयुग्मी ______ है।
यदि एक सम्मिश्र संख्या तीसरे चतुर्थाश में स्थित है, तो उसका संयुग्मी ______ में स्थित होगा।
यदि (2 + i) (2 + 2i) (2 + 3i) ... (2 + ni) = x + iy तो 5.8.13 ... (4 + n2) = ______
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या को i से गुणा करने पर, वह उसे वामावर्त दिशा में एक समकोण पर घुमा देता है।
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
सम्मिश्र संख्या cosθ + isinθ, θ के किसी मान के लिए शून्य हो सकती है।
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
यदि कोई सम्मिश्र संख्या अपने संयुग्मी के साथ संपाती है, तो वह संख्या अवश्य ही काल्पनिक अक्ष पर स्थित होना चाहिए।
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
सम्मिश्र संख्याएं z = `(1 + isqrt3)` (1 + i) (cosθ + isinθ) का कोणांक `(7pi)/12 + theta` है।
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
सम्मिश्र संख्या z, जिसके लिए |z + 1| < |z - 1| है, को निरूपित करने वाले बिंदु एक वृत्त के अभ्यंतर में स्थित होते हैं।
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
यदि तीन सम्मिश्र संख्याएँ z1, z2 और z3 एक समांतर श्रेणी (A.P) में हैं तो वे सम्मिश्र तल में एक वृत्त पर स्थित होते हैं।
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
यदि n एक धनात्मक पूर्णाक है, तो in + (i)n+1 + (i)n+2 + (i)n+3 का मान शून्य है।
सत्य
असत्य
स्तंभ A और स्तंभ B के कथनों का सही मिलान कीजिए:
| स्तंभ A | स्तंभ B |
| (a) 1 + i2 + i4 + i6 + ... i20 का मान है | (i) शुद्धत: काल्पनिक सम्मिश्र संख्या |
| (b) `i^(-1097)` का मान है | (ii) शुद्धत: वास्तविक सम्मिश्र संख्या |
| (c) 1 + i का संयुग्मी किस चतुर्थांश में स्थित है | (iii) द्वितीय चतुर्थांश |
| (d) `(1 + 2i)/(1 - i)` किस चतुर्थांश में स्थित है | (iv) चौथा चतुर्थांश |
| (e) यदि a, b, c ∈ R और b2 - 4ac < 0 तब समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल अवास्तविक एवं सम्मिश्र हैं | (v) संयुग्मी युग्मों में घटित नहीं हो सकते हैं |
| (f) यदि a, b, c ∈ R और b2 – 4ac > 0 एवं b2 – 4ac एक पूर्ण वर्ग है, तो समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल हैं | (vi) संयुग्मी युग्मों में घटित हो सकते हैं |
`(i^(4n + 1) -i^(4n - 1))/2` का क्या मान है?
वह कौन-सा न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक n हैं, जिसके लिए (1 + i)2n = (1 – i)2n?
`3 + sqrt(7)i` का व्युत्क्रम क्या है?
यदि z1 = `sqrt(3) + i sqrt(3)` और z2 = `sqrt(3) + i`, तो ज्ञात कीजिए कि`(z_1/z_2)` किस चतुर्थांश में स्थित है।
`(sqrt(5 + 12i) + sqrt(5 - 12i))/(sqrt(5 + 12i) - sqrt(5 - 12i))` का संयुग्मी क्या है?
1 - i के कोणांक का मुख्य मान क्या है?
सम्मिश्र संख्या (i25)3 का ध्रुवीय रूप क्या है?
z का बिंदु पथ क्या होगा, यदि z – 2 – 3i का कोणांक `pi/4` है?
यदि 1 - i समीकरण x2 + ax + b = 0 का एक मूल है, जहाँ a, b ∈ R, तब a और b के मान ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 28 से 33 तक प्रत्येक के लिए दिए हुए चार विकल्पों में से सही विकल्प चुनिए (M.C.Q.):
1 + i2 + i4 + i6 + ... + i2n है:
धनात्मक
ऋणात्मक
0
इसका मान नहीं निकाला जा सकता
यदि सम्मिश्र संख्या z = x + iy प्रतिबंध |z + 1| = 1 को संतुष्ट करती है, तो z स्थित है:
x-अक्ष पर
केंद्र (1, 0) और त्रिज्या 1 इकाई वाले एक वृत्त पर
केंद्र (–1, 0) और त्रिज्या 1 वाले वृत्त पर
y-अक्ष पर
सम्मिश्र संख्याओं z, –iz और z + iz द्वारा सम्मिश्र तल में बनाये गये त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
|z|2
`|barz|^2`
`|z|^2/2`
इनमें से कोई नहीं
समीकरण |z + 1 - i| = |z - 1 + i| निरूपित करता है एक
सरल रेखा
वृत्त
परवलय
अतिपरवलय
समीकरण z2 + |z|2 = 0, z ≠ 0 के हलों की संख्या है
1
2
3
अपरिमित रूप से अनेक
`sin pi/5 + i(1 - cos pi/5)` का कोणांक है
`(2pi)/5`
`pi/5`
`pi/15`
`pi/10`
NCERT Exemplar solutions for Mathematics [Hindi] Class 11 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघात समीकरण प्रश्नावली [Pages 91 - 97]
लघु उत्तरीय प्रश्न (SA)
एक धनात्मक पूर्णांक n के लिए, `(1−i)^n(1−1/i)^n` का मान ज्ञात कीजिए।
`sum_(n = 1)^13 (i^n + i^(n + 1))` का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ n ∈ N
यदि `((1 + i)/(1 - i))^3 - ((1 - i)/(1 + i))^3` = x + iy, तो (x, y) ज्ञात कीजिए।
यदि `(1 + i)^2/(2 - i)` = x + iy, तो x + y ज्ञात कीजिए।
यदि `((1 - i)/(1 + i))^100` = a + ib है, तो (a, b) ज्ञात कीजिए।
यदि a = cosθ + isinθ है, तो `(1 + "a")/(1 - "a")` का मान ज्ञात कीजिए।
यदि (1 + i)z = `(1 - i)barz` है, तो दर्शाइए कि z = `-ibarz`
यदि z = x + iy, तो दर्शाइए कि `z barz + 2(z + barz) + b` = 0 जहाँ b ∈ R, एक वृत्त निरूपित करता है।
यदि `(barz + 2)/(barz - 1)` का वास्तविक भाग 4 है, तो दशाइए कि z को निरूपित करने वाले बिंदु का बिंदु पथ सम्मिश्र तल में एक वृत्त है।
दर्शाइए कि प्रतिबंध arg`((z - 1)/(z + 1)) = pi/4` को संतुष्ट करने वाली सम्मिश्र संख्या z एक वृत्त पर स्थित है।
समीकरण |z| = z + 1 + 2i को हल कीजिए।
दीर्घ उत्तर प्रश्न (LA)
यदि |z + 1| = z + 2(1 + i) है, तो z ज्ञात कीजिए।
यदि arg(z − 1) = arg(z + 3i) है, तो x − 1 : y ज्ञात कीजिए, जहाँ z = x + iy
दर्शाइए कि `|(z - 2)/(z - 3)|` = 2 एक वृत्त निरूपित करता है। इसकी केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
यदि `(z - 1)/(z + 1)` एक शुद्धत: काल्पनिक संख्या है (z ≠ −1), तो |z| का मान ज्ञात कीजिए।
यदि z1 और z2 दो ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं ताकि |z1| = |z2| और arg(z1) + arg(z2) = π, तो दर्शाइए कि z1 = `-barz_2`
यदि |z1| = 1(z1 ≠ –1) और z2 = `(z_1 - 1)/(z_1 + 1)`, तो दर्शाइए कि z2 का वास्तविक भाग शून्य है।
यदि z1, z2 और z3, z4 संयुग्मी सम्मिश्र संख्याओं के दो युग्म हैं, तब arg`(z_1/z_4)` + arg`(z_2/z_3)` ज्ञात कीजिए।
यदि |z1| = |z2| = ... = |zn| = 1, तो दर्शाइए कि |z1 + z2 + z3 + ... + zn| = `|1/z_1 + 1/z_2 + 1/z_3 + ... + 1/z_n|`
यदि सम्मिश्र संख्या z1 और z2 के लिए, arg(z1) − arg(z2) = 0, तब दर्शाइए कि `|z_1 - z_2| = |z_1| - |z_2|`
समीकरणों के निकाय Re(z2) = 0, ∣z∣ = 2 को हल कीजिए।
समीकरण `z + sqrt(2) |(z + 1)| + i` = 0 को संतुष्ट करने वाली सम्मिश्र संख्या ज्ञात कीजिए।
सम्मिश्र संख्या z = `(1 - i)/(cos pi/3 + i sin pi/3)` को ध्रुवीय रूप में लिखिए।
यदि z और w दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि |zw| = 1 और arg(z) − arg(w) = `π/2`, तो दर्शाइए कि `barz`w = –i
वस्तुनिष्ठ प्रश्न निम्नलिखित में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं z1, z2 और किन्हीं वास्तविक संख्याओं a, b, के लिए, |az1 – bz2|2 + |bz1 + az2|2 = ______
`sqrt(-25) xx sqrt(-9)` का मान ______ है।
संख्या `(1 - i)^3/(1 - i^3)` ______ के बराबर है।
श्रेणी i + i2 + i3 + .... का 1000 पदों तक का योग ______ है।
यदि z1 और z2 ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि z1 + z2 एक वास्तविक संख्या है, तो z2 = ______
arg(z) + arg`barz (barz ≠ 0)` ______ है।
यदि |z + 4| ≤ 3, तो |z + 1| के अधिकतम और न्यूनतम मान ______ एवं ______ हैं।
यदि `|(z - 2)/(z + 2)| = pi/6` है, तो z का बिंदु पथ ______ है।
यदि |z| = 4 और arg(z) = `(5π)/6`, तो z = ______
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में क्रम संबंध परिभाषित है।
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
एक शून्येत्तर सम्मिश्र संख्या का −i से गुणन उस सम्मिश्र संख्या द्वारा निरूपित बिंदु का मूल बिंदु के परित वामावर्त दिशा में एक समकोण पर घूर्णन कर देता है।
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
किसी भी सम्मिश्र संख्या z के लिए, |z| + |z – 1| का कम से कम मान 1 है।
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
|z – 1| = |z – i| को निरूपित करने वाला बिंदु पथ (1, 0) और (0, 1) को मिलाने वाली रेखा पर एक लंब रेखा है।
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
यदि z एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि z ≠ 0 और Re(z) = 0, तो Im(z2) = 0
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
असमिका |z – 4| < |z – 2| असमिका x > 3 से प्रदत्त क्षेत्र को निरूपित करती है।
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
मान लीजिए कि z1 और z2 दो ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि |z1 + z2| = |z1| + |z2| तब arg(z1 – z2) = 0
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
2 एक सम्मिश्र संख्या है।
सत्य
असत्य
स्तंभ A और स्तंभ B के कथनों का सही मिलान कीजिए:
| स्तंभ A | स्तंभ B |
| (a) `i + sqrt3` का ध्रुवीय रूप है |
(i) (−2, 0) और (2, 0) को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक |
| (b) `−1 + sqrt(−3)` का कोणांक है |
(ii) केंद्र (0, −4) और त्रिज्या 3 इकाई वाले वृत्त पर या उसके बाहर |
|
(c) यदि |z + 2| = |z − 2|, तो z का बिंदु पथ है |
(iii) `(2pi)/3` |
| (d) यदि |z + 2i| = |z − 2i|, तो z का बिंदुपथ है |
(iv) (0, −2) और (0, 2) को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक |
| (e) |z + 4i| ≥ 3 से निरूपित क्षेत्र है | (v) `2(cos pi/6 + isin pi/6)` |
| (f) |z + 4| ≤ 3 से निरूपित क्षेत्र है |
(vi) केंद्र (−4, 0) और त्रिज्या 3 मात्रक वाले वृत्त पर या उसके अंदर |
| (g) `(1 + 2i)/(1 - i)` का संयुग्मी किस चतुर्थांश में स्थित है | (vii) प्रथम चतुर्थांश |
| (h) 1 - i का व्युत्क्रम किस चतुर्थांश में स्थित है | (viii) तीसरा चतुर्थांश |
`(2 - i)/(1 - 2i)^2` का संयुग्मी क्या है?
यदि |z1| = |z2| तब क्या z1 = z2 होना आवश्यक है?
यदि `(a^2 + 1)^2/(2a - i)` = x + iy तो x2 + y2 का क्या मान है?
z ज्ञात कीजिए, यदि |z| = 4 और arg(z) = `(5pi)/6`
`|(1 + i) ((2 + i))/((3 + i))|` ज्ञात कीजिए।
`(1 + isqrt3)^2` का मुख्य कोणांक ज्ञात कीजिए।
यदि `|(z - 5i)/(z + 5i)|` = 1, तो z कहाँ स्थित है?
प्रश्न 35 से 50 तक प्रत्येक में दिए हुए चार विकल्पों में से सही विकल्प चुनिए (M.C.Q):
निम्नलिखित में से किसके लिए, sinx + icos2x और cosx − isin2x परस्पर संयुग्मी हैं
x = nπ
`x = (n + 1/2)pi/2`
x = 0
x का कोई मान नहीं
`(n + 1)pi/2`
`(2n + 1)pi/2`
nπ
इनमें से कोई नहीं, जहाँ n ∈ N
यदि z = x + iy तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, तो `overlinez/z` भी तीसरे चतुर्थांश में स्थित होगा, यदि
x > y > 0
x < y < 0
y < x < 0
y > x > 0
(z + 3) (`overlinez` + 3) का मान निम्नलिखित में से किसके समतुल्य है
|z + 3|2
|z – 3|
z2 + 3
इनमें से कोई नहीं
यदि `((1 + i)/(1 - i))^x` = 1, तो
x = 2n + 1
x = 4n
x = 2n
x = 4n + 1, जहाँ n ∈ N
x का एक वास्तविक मान समीकरण `((3 - 4ix)/(3 + 4ix))` = α − iβ(α, β ∈ R) को संतुष्ट करता है, यदि α2 + β2 = ______
1
-1
2
-2
किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं z1 तथा z2 के लिए, निम्नलिखित में से कौन सही है?
|z1z2| = |z1||z2|
arg(z1z2) = arg(z1).arg(z2)
|z1 + z2| = |z1| + |z2|
|z1 + z2| ≥ |z1| – |z2|
यदि सम्मिश्र संख्या 2 − i से निरूपित बिंदु को मूलबिंदु के प्रति दक्षिणावर्त दिशा में एक कोण `π/2` पर घुमाया जाए, तो उस बिंदु की नयी स्थिति होगी
1 + 2i
–1 – 2i
2 + i
–1 + 2i
मान लीजिए कि x, y ∈ R, तो x + iy एक अवास्तविक सम्मिश्र संख्या है, यदि
x = 0
y = 0
x ≠ 0
y ≠ 0
यदि a + ib = c + id, तो
a2 + c2 = 0
b2 + c2 = 0
b2 + d2 = 0
a2 + b2 = c2 + d2
प्रतिबंध `|(i + z)/(i - z)| = 1` को संतुष्ट करने वाली सम्मिश्र संख्या स्थित होगी:
वृत्त x2 + y2 = 1 पर
x-अक्ष पर
y-अक्ष पर
रेखा x + y = 1 पर
यदि z एक सम्मिश्र संख्या है, तो
|z2| > |z|2
|z2| = |z|2
|z2| < |z|2
|z2| ≥ |z|2
|z1 + z2| = |z1| + |z2| संभव है, यदि
`z_2 = barz_1`
`z_2 = 1/z_1`
arg(z1) = arg(z2)
|z1| = |z2|
θ का वह वास्तविक मान, जिसके लिए `(1 + i cos theta)/(1 - 2i cos theta)` एक वास्तविक संख्या है, निम्नलिखित में से कौन सा है:
`npi + pi/4`
`npi + (-1)^n pi/4`
`2npi +- pi/2`
इनमें से कोई नहीं
जब x < 0 तो arg(x) का मान है
0
`pi/2`
π
इनमें से कोई नहीं
यदि f(z) = `(7 - z)/(1 - z^2)` जहाँ z = 1 + 2i, तो |f(z)| है
`|z|/2`
|z|
2|z|
इनमें से कोई नहीं।
Solutions for 5: सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघात समीकरण
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