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प्रश्न
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
|z – 1| = |z – i| को निरूपित करने वाला बिंदु पथ (1, 0) और (0, 1) को मिलाने वाली रेखा पर एक लंब रेखा है।
विकल्प
सत्य
असत्य
उत्तर
यह कथन सत्य है।
स्पष्टीकरण:
देखिए, z = x + yi
पता है की |z – 1| = |z – i|
|x + yi – 1| = |x + yi – i|
⇒ `|(x - 1) + yi| = |x - (1 - y)i|`
⇒ `sqrt((x - 1)^2 + y^2) = sqrt(x^2 + (1 - y^2))`
⇒ (x – 1)2 + y2 = x2 + (1 – y)2
आगे हल करें।
⇒ x2 – 2x + 1 + y2 = x2 + 1 + y2 – 2y
⇒ –2x + 2y = 0
⇒ x – y = 0
ऐसा समझें, यह एक लंब रेखा है।
पता है कि, ढलान 1 है।
⇒ y – 0 = `(1 - 0)/(0 - 1) (x - 1)`
⇒ y = –x + 1
इसलिए, ढलान –1 है।
दो ढलान लाइनों को गुणा करें।
= –1 × 1 = –1
इसलिए, रेखाएं लंबवत हैं।
|z – 1| = |z – i| को निरूपित करने वाला बिंदु पथ (1, 0) और (0, 1) को मिलाने वाली रेखा पर एक लंब रेखा है। यह सत्य है।
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