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प्रश्न
दर्शाइए कि 6q + r के रूप के एक धनात्मक पूर्णांक का घन भी, जहाँ q एक पूर्णांक है तथा r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 हैं, 6m + r के रूप का होता है। जहाँ m एक पूर्णांक है।
उत्तर
मान लीजिए a एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक है।
फिर, यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा, सकारात्मक पूर्णांक a और 6 के अनुरूप, गैर-नकारात्मक पूर्णांक q और r मौजूद हैं जैसे कि
a = 6q + r, जहां 0 ≤ r < 6
`\implies` a3 = (6q + r)3 = 216q3 + r3 + 3 . 6q . r(6q + r) .......[∵ (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)]
`\implies` a3 = (216q3 + 108q2r + 18qr2) + r3 .......(i)
जहाँ 0 < r < 6
केस I: जब r = 0,
फिर समीकरण (i) में r = 0 रखने पर, हमें मिलता है।
a3 = 216q3
= 6(36q3)
= 6m
जहाँ, m = 36q3 एक पूर्णांक है।
केस II: जब r = 1,
फिर समीकरण (i) में r = 1 रखने पर, हमें मिलता है।
a3 = (216q3 + 108q2 + 18q) + 1
= 6(36q3 + 18q2 + 3q) + 1
`\implies` a3 = 6m + 1
जहाँ, m = (36q3 + 18q2 + 3q) एक पूर्णांक है।
केस III: जब r = 2,
फिर समीकरण (i) में r = 2 रखने पर, हमें मिलता है।
a3 = (216q3 + 216q2 + 72q) + 8
a3 = (216q3 + 216q2 + 72q + 6) + 2
`\implies` a3 = 6(36q3 + 36q2 + 12q + 1) + 2
= 6m + 2
जहाँ, m = (36q3 + 36q2 + 12q + 1) एक पूर्णांक है।
केस IV: जब r = 3,
फिर समीकरण (i) में r = 3 रखने पर, हमें मिलता है।
a3 = (216q3 + 324q2 + 162q) + 27
= (216q3 + 324q2 + 162q + 24) + 3
= 6(36q3 + 54q2 + 27q + 4) + 3
= 6m + 3
जहाँ, m = (36q3 + 54q2 + 27q + 4) एक पूर्णांक है।
केस V: जब r = 4,
फिर समीकरण (i) में r = 4 रखने पर, हमें मिलता है।
a3 = (216q3 + 432q2 + 288q) + 64
= 6(36q3 + 72q2 + 48q) + 60 + 4
= 6(36q3 + 72q2 + 48q + 10) + 4
= 6m + 4
जहाँ, m = (36q3 + 72q2 + 48q + 10) एक पूर्णांक है।
केस VI: जब r = 5,
फिर समीकरण (i) में r = 5 रखने पर, हमें मिलता है।
a3 = (216q3 + 540q2 + 450q) + 125
`\implies` a3 = (216q3 + 540q2 + 450q) + 120 + 5
`\implies` a3 = 6(36q3 + 90q2 + 75q + 20) + 5
`\implies` a3 = 6m + 5
जहाँ, m = (36q3 + 90q2 + 75q + 20) एक पूर्णांक है।
इसलिए, 6q + r, q रूप के एक धनात्मक पूर्णांक का घन एक पूर्णांक है और r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 भी 6m, 6m + 1, 6m + 2, 6m + के रूप का है। 3, 6m + 4 और 6m + 5 यानी, 6m + r.
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