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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि `sqrt"p"+sqrt"q"` एक अपरिमेय संख्या है, जहाँ p और q अभाज्य संख्याएँ हैं।
उत्तर
आइए मान लें कि `sqrtp + sqrtq` तर्कसंगत है।
फिर से, मान लीजिए `sqrtp + sqrtq` = a, जहां a परिमेय है।
इसलिए, `sqrtq = a - sqrtp`
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है।
q = `a^2 + p - 2asqrtp` .....[∵ (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab]
इसलिए, `sqrtp = (a^2 + p - q)/(2a)`, जो एक विरोधाभास है क्योंकि दाईं ओर तर्कसंगत संख्या है जबकि `sqrtp` अपरिमेय है, क्योंकि p एक अभाज्य संख्या है।
इसलिए, `sqrtp + sqrtq` अपरिमेय है।
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