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प्रश्न
यदि एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) तथा त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई ‘a’ है तो सिद्ध कीजिए कि `|(x_1, y_1, 1),(x_2, y_2, 1),(x_3, y_3, 1)|^2 = (3"a"^4)/4`
उत्तर
शीर्षों (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इसके द्वारा दिया जाता है
Δ = `1/2 |(x_1, y_1, 1),(x_2, y_2, 1),(x_3, y_3, 1)|`
साथ ही, एक भुजा a वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल द्वारा दिया गया है
Δ = `sqrt(3)/2 "a"^2`
∴ `1/2 |(x_1, y_1, 1),(x_2, y_2, 1),(x_3, y_3, 1)| = sqrt(3)/4 "a"^2`
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं
⇒ Δ2 = `1/4 |(x_1, y_1, 1),(x_2, y_2, 1),(x_3, y_3, 1)| = 3/16 "a"^4`
or `|(x_1, y_1, 1),(x_2, y_2, 1),(x_3, y_3, 1)|^2 = (3"a"^4)/4`
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