Question

अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर f(x) = `x^3 + 1/x^3, x ne 0` से प्रदत्त फलन (i) वर्धमान, (ii) ह्रासमान है।

Answer 1

हमारे पास है `f (x) = x^3 + 1/x^3`

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है।

`f' (x) = 3x^2 - 3/x^4`

(i) f(x) के x का वर्धमान फलन होने के लिए,

`f' (x) > 0`

⇒ x⁶ - 1 > 0

⇒ (x³ - 1) (x³ + 1) > 0

अर्थात x³ - 1 > 0 या  x³ + 1 > 0

⇒ x³ > 1 या x³ > -1 

⇒ x > 1 और x > -1

⇒ x > 1 

⇒ x ∈ (1, ∞)

or x³ - 1 < 0 और x³ + 1 < 0

x³ < 1 और  x³ < -1 

⇒ x < 1 और  x < -1

⇒ x < -1

⇒ x ∈ (-∞, -1)

अतः, f(x) (-∞, -1) ∪ (1,∞) में  वर्धमान रहा है।

(ii) f(x) को x का ह्रासमान  हुआ फलन बनाने के लिए,

f' (x) < 0

⇒ `3 (x^2 - 1/x^4) < 0`

⇒ `x^2 - 1/x^4 < 0`

⇒ x⁶ - 1 < 0

⇒ (x³ - 1) (x³ + 1) < 0

अर्थात, x³ - 1 > 0 और  x³ + 1 < 0

⇒ x³ > 1 और  x³ < -1

⇒ x > 1 और  x < -1

जो संभव नहीं है।

or x³ - 1 < 0 और x³ + 1 > 0

⇒ x³ < 1 और  x³ > -1 

⇒ x < 1 और  x > -1

⇒ -1 < x < 1

अतः, f(x) (-1,1) में ह्रासमान रहा है।