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प्रश्न
एक बहुभुज के दो क्रमिक अंत: कोणों का अंतर 5° है। यदि सबसे छोटा कोण 120° हो, तो बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर
एक n भुजाओं वाले बहुभुज के अंतः कोणों का योग
= 180n – 360 …..........(i)
दिया है कि एक अंतः कोण = समांतर श्रेणी का पहला पद = 120°
क्रमिक अंतः कोणों का अंतर = समांतर श्रेणी का सार्व अंतर = d = 5
∴ n अंतः कोणों का योग = समांतर श्रेणी के n पदों का योग।
= `"n"/2[2"a" + ("n" - 1)"d"]`
= `"n"/2[2 xx 120 + ("n" - 1) xx 5]`
= `"n"/2[240 + 5"n" - 5]`
= `"n"/2[5"n" + 235]` ................(ii)
समीकरण (i) और (ii) से, `"n"/2[5"n" + 235]` = 180n − 360
या 5n2 + 235n = 360n − 720
या 5n2 − 125n + 720 = 0
या n2 − 25n + 144 = 0
∴ (n − 16) (n − 9) = 0
∴ n = 16, 9
n = 16 इसलिए n = 9
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