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प्रश्न
किसी समांतर श्रेणी के m तथा n पदों के योगफलों का अनुपात m2 : n2 है तो दर्शाइए कि m वें तथा n वें पदों का अनुपात (2m – 1) : (2n – 1) है।
उत्तर
मान लीजिए समांतर श्रेणी का पहला पद a और सार्व अंतर d है।
∴ m पदों का योगफल = `"m"/2[2"a" + ("m" - 1)"d"]`
n पदों का योगफल = `"n"/2[2"a" + ("n" - 1)"d"]`
दिया है: `("m"/2[2"a" + ("m" - 1)"d"])/("n"/2[2"a" + ("n" - 1)"d"])`
= `"m"^2/"n"^2`
या `(2"a" + ("m" - 1)"d")/(2"a" + ("n' - 1)"d")` = `"m"/"n"` ...............(i)
अब `("a" + ("m" - 1)"d")/("a" + ("n" - 1)"d") = (2"a" + (2"m" - 2)"d")/(2"a" + (2"n" - 2)"d")` ...........(ii)
समीकरण (i) और (ii) की तुलना करने पर
समीकरण (i) में m − 1 के स्थान पर समीकरण (ii) में 2m − 2 अथवा m के स्थान पर 2m − 1 रखने पर तथा
इसी प्रकार n − 1 के स्थान पर 2n − 2 है अथवा n के स्थान पर 2n − 1 रखने पर
∴ `(2"a" + (2"m" - 2)"d")/(2"a" + (2"n" - 2)"d") = (2"m" - 1)/(2"n" - 1)`
या `("a" + ("m" - 1)"d")/("a" + ("n" - 1)"d")`
= `("m""वाँ पद")/("n""वाँ पद") = (2"m" - 1)/(2"n" - 1)`
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