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प्रश्न
निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।
5 sec x + 4 cos x
उत्तर
मान लीजिए f (x) = 5 sec x + 4 cos x के अनुसार, प्रथम सिद्धांत से,
f'(x) = `lim_(h->0) (f(x + h)-f(x))/h`
= `lim_(h->0) (5sec(x + h) + 4cos (x + h)- [5sec x + 4 cos x])/h`
= `5 lim_(h->0)[[sec(x + h) - sec x]]/h + 4 lim_(h->0)[[cos (x + h) - cos x]]/h`
= `5 lim_(h->0)[1/(cos(x + h)) - 1/(cos x)] + 4 lim_(h->0)1/h[cos(x + h) - cosx]`
= `5lim_(h->0)1/h[(cos x - cos (x + h))/(cos x cos (x + h))] + 4 lim_(h->0)1/h[cosx cos h - sin x sin h - cosx]`
= `5/(cosx) lim_(h->0)1/h[(-2sin ((x + x + h))/2 sin ((x - x - h))/2)/cos (x + h)] + 4lim_(h->0) 1/h[-cosx (1 - cos h) - sinx sin h]`
= `5/(cosx) lim_(h->0)1/h[(-2sin ((2x + h)/2) sin (-h/2))/cos (x + h)] + 4 [-cos x lim_(h->0)((1 - cos h))/h - sinx lim_(h->0)(sin h)/h]`
= `5/cosx lim_(h->0)[(sin((2x + h)/2).sin(h/2)/(h/2))/(cos (x + h))] + 4[(-cosx).(0)-(sinx).1]`
= `5/(cos x)[lim_(h->0)sin((2x + h)/2)/(cos(x + h)). lim_(h->0)sin(h/2)/(h/2)]-4sinx`
= `5/(cos x).(sin x)/(cos x). 1 - 4 sin x`
= 5 sec x. tan x - 4 sin x
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