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प्रश्न
निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):
`x/(1 + tan x)`
उत्तर
मान लीजिए f(x) = `x/(1 + tan x)`
f'(x) = `((1 + tan x) d/dx(x) - x d/dx (1 + tan x))/(1 + tan x^2)`
f'(x) = `((1 + tan x) -x.d/dx (1 + tan x))/(1 + tan x^2)` ...(i)
मान लीजिए g(x) = 1 + tan x. इसलिए: g (x + h) = 1 + tan (x + h).
प्रथम सिद्धांत के अनुसार,
g'(x) = `lim_(h->0) (g(x + h) -g(x))/h`
= `lim_(h->0) [(1 + tan (x + h) -1 - tan x)/h]`
= `lim_(h->0)1/h [(sin (x + h))/cos (x + h) - (sin x)/(cos x)]`
= `lim_(h->0)1/h [(sin (x + h)cos x - sin x cos (x + h))/(cos (x + h) cos x)]`
= `lim_(h->0)1/h [sin (x + h - x)/(cos (x + h) cos x)]`
= `lim_(h->0)1/h [sin h)/(cos (x + h) cos x)]`
= `(lim_(h->0) sin h/h) . (lim_(h->0) 1/(cos (x + h) cos x))`
= `1 xx 1/(cos^2 x) = sex^2 x`
= `d/dx (1 + tan x) = sec^2 x` ...(ii)
(i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं
f'(x) = `(1 + tan x - x sec^2 x)/(1 + tan x)^2`
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(x + sec x) (x – tan x)
निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):
`x/(sin^n x)`
