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प्रश्न
निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):
(x + cos x)(x – tan x)
उत्तर
मान लीजिए f(x) = (x + cos x) (x − tan x)
गुणनफल नियम से,
f'(x) = `(x + cos x) d/dx (x-tan x) + (x - tan x) d/ dx (x + cos x)`
= `(x + cos x) [d/dx (x) -d/dx (tan x)] + (x - tan x) (1-sin x)`
= `(x + cos x) + [1 - d/dx tan x] + (x - tan x) (1 - sin x)` ...(i)
मान लीजिए g(x) = tan x. इसलिए, g(x + h) = tan(x + h)
प्रथम सिद्धांत के अनुसार,
g'(x) = `lim_(h->0) (g(x+h)-g(x))/h`
= `lim_(h->0) ((tan (x+h) - tan x)/h)`
= `lim_(h->0)1/h [ sin(x + h)/(cos (x + h)) - (sin x)/(cos x)]`
= `lim_(h->0)1/h [(sin (x + h) cos x - sin x cos (x + h))/(cos (x + h) cos x)]`
= `1/cos x lim_(h->0)1/h [ sin(x + h - x)/(cos (x + h))]`
= `1/cos x lim_(h->0)1/h [ sin h/(cos (x + h))]`
= `1/cos x (lim_(h->0)sin h/h) (lim_(h->0) 1/(cos (x + h)))`
= `1/cos x .1 . 1/(cos (x + 0))`
= `1/cos^2 x`
= sec2x ...(ii)
इसलिए, (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं
f'(x) = (x + cos x) (1 - sec2 x) + (x - tan x) (1 - sin x)
= (x + cos x)(- tan2 x) + (x tan x) (1 - sin x)
= tan2 x(x + cos x) + (x - tan x) (1 - sin x)
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