Question

निम्नलिखित फलन के सातत्य पर विचार कीजिए:

f(x) = sin x. cos x

Answer 1

मान लीजिए a एक मनमाना वास्तविक संख्या है, तो,

f (a) = sina cosa

${\displaystyle \underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\left[\sin (a+h)\cos (a+h)\right]}$

= ${\displaystyle \underset{h\to a^{+}}{lim}\left[\left(\sin a\cosh +\cos a\sinh \right)\left(\cos a\cosh -\sin a\sinh \right)\right]}$

= sina cosa

${\displaystyle \underset{x\to a^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\left[\sin (a-h)\cos (a-h)\right]}$

${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\left[\left(\sin a\cosh -\cos a\sinh \right)\left(\cos a\cosh +\sin a\sinh \right)\right]}$

= sina cosa

∴ ${\displaystyle \underset{x\to a^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)=f\left(a\right)}$

= f(x) x = a पर संतत है,

So, f (x) = sinx. cosx जो सत्य है, अर्थात f(x) असली अंक रेखा के हर बिंदु पर संतत है।