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प्रश्न
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि `"f"(x) = {(5"," " यदि" x le 2),("a"x + "b""," " यदि" 2 < x < 10),(21"," " यदि" x ge 10):}` द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।
उत्तर १
`"f"("x") = {(5, "यदि" "x" le 2),("ax + b", "यदि" 2 < "x" < 10),(21, "यदि" "x" ge 10):}`
क्योंकि f(x) = 5, f(x) = ax + b, f(x) 21 संतत फलन है, f(x) x < 2, 2 < x < 10, x > 10 पर संतत फलन पहले ही है।
यदि f(x), x = 2 पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
`"f"(2) = "lim"_("x" -> 2^+) "f"("x") = "lim"_("x" -> 2^-) "f"("x")`
`=> 5 = "a"(2) + "b" = 5`
`=> "a"(2) + "b" = 5` .....(1)
यदि f(x), x = 10 पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
`"f"(10) = "lim"_("x" -> 10^+) "f"("x") = "lim"_("x" -> 10^-) "f"("x")`
`=> 21 = 21 = "a"(10) + "b" `
`=> "a" (10) + "b" = 21` ....(2)
(2) - (1)
`=> 8"a" = 16`
`=> "a" = 2`
`therefore (2)(2) + "b" = 5`
`=> "b" = 1`
अर्थात a = 2, b = 1 की मात्रा के लिए यह फलन f(x) संतत है।
उत्तर २
`"f"(x) = {(5"," " यदि" x le 2),("a"x + "b""," " यदि" 2 < x < 10),(21"," " यदि" x ge 10):}`
क्योंकि f(x) = 5, f(x) = ax + b, f(x) 21 संतत फलन है, f(x) x < 2, 2 < x < 10, x > 10 पर संतत फलन पहले ही है।
यदि f(x), x = 2 पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
`f(2) = lim_(x -> 2^+) f(x) = lim_(x -> 2^-) f(x)`
`=> 5 = a(2) + b = 5`
`=> 2a + b = 5` ...(1)
यदि f(x), x = 10 पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
`f(10) = lim_(x -> 10^+) f(x) = lim_(x -> 10^-) f(x)`
`=> 21 = 21 = a(10) + b `
`=> 10a + b = 21` ...(2)
समीकरण (2) को (1) से घटाने पर,
`=> 8a = 16`
`=> a = 2`
`therefore (2)(2) + b = 5`
`=> b = 1`
अर्थात a = 2, b = 1 की मात्रा के लिए यह फलन f(x) संतत है।
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