Advertisements
Advertisements
प्रश्न
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि `"f"(x) = {(5"," " यदि" x le 2),("a"x + "b""," " यदि" 2 < x < 10),(21"," " यदि" x ge 10):}` द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।
उत्तर १
`"f"("x") = {(5, "यदि" "x" le 2),("ax + b", "यदि" 2 < "x" < 10),(21, "यदि" "x" ge 10):}`
क्योंकि f(x) = 5, f(x) = ax + b, f(x) 21 संतत फलन है, f(x) x < 2, 2 < x < 10, x > 10 पर संतत फलन पहले ही है।
यदि f(x), x = 2 पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
`"f"(2) = "lim"_("x" -> 2^+) "f"("x") = "lim"_("x" -> 2^-) "f"("x")`
`=> 5 = "a"(2) + "b" = 5`
`=> "a"(2) + "b" = 5` .....(1)
यदि f(x), x = 10 पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
`"f"(10) = "lim"_("x" -> 10^+) "f"("x") = "lim"_("x" -> 10^-) "f"("x")`
`=> 21 = 21 = "a"(10) + "b" `
`=> "a" (10) + "b" = 21` ....(2)
(2) - (1)
`=> 8"a" = 16`
`=> "a" = 2`
`therefore (2)(2) + "b" = 5`
`=> "b" = 1`
अर्थात a = 2, b = 1 की मात्रा के लिए यह फलन f(x) संतत है।
उत्तर २
`"f"(x) = {(5"," " यदि" x le 2),("a"x + "b""," " यदि" 2 < x < 10),(21"," " यदि" x ge 10):}`
क्योंकि f(x) = 5, f(x) = ax + b, f(x) 21 संतत फलन है, f(x) x < 2, 2 < x < 10, x > 10 पर संतत फलन पहले ही है।
यदि f(x), x = 2 पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
`f(2) = lim_(x -> 2^+) f(x) = lim_(x -> 2^-) f(x)`
`=> 5 = a(2) + b = 5`
`=> 2a + b = 5` ...(1)
यदि f(x), x = 10 पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
`f(10) = lim_(x -> 10^+) f(x) = lim_(x -> 10^-) f(x)`
`=> 21 = 21 = a(10) + b `
`=> 10a + b = 21` ...(2)
समीकरण (2) को (1) से घटाने पर,
`=> 8a = 16`
`=> a = 2`
`therefore (2)(2) + b = 5`
`=> b = 1`
अर्थात a = 2, b = 1 की मात्रा के लिए यह फलन f(x) संतत है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x - 3, x = 0, x = - 3 तथा x = 5 पर संतत है।
निम्नलिखित फलन की सातत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = x - 5
निम्नलिखित फलन की सातत्य की जाँच कीजिए:
f(x) `= (x^2 - 25)/(x + 5), x ne -5`
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f(x) = {(|x|/x , "यदि" x != 0),(0, "यदि" x = 0):}`
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f (x) = {(x+1, "यदि" x>=1),(x^2+1, "यदि" x < 1):}`
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f(x) = {(x^3 - 3, "यदि" x <= 2),(x^2 + 1, "यदि" x > 2):}`
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f (x) = {(x^10 - 1, "यदि" x<=1),(x^2, "यदि" x > 1):}`
फलन f के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
`"f"("x") = {(3"," " यदि", 0 le "x" le 1),(4"," " यदि", 1 < "x" < 3),(5"," " यदि", 3 le "x" le 10):}`
फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
`"f"("x") = {(-2"," " यदि", "x" le -1),(2"x"","" यदि", -1 le "x" le 1),(2"," " यदि", "x" > 1):}`
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए। जिनके लिए `f(x)= {(ax + 1, "यदि" x<= 3),(bx + 3, "यदि" x > 3):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
दर्शाइए कि g(x) = x - [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णांक बिंदुओं पर असंतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णाक निरूपित करता है, जो x के बराबर या x से कम है।
निम्नलिखित फलन के सातत्य पर विचार कीजिए -
f(x) = sin x + cos x
निम्नलिखित फलन के सातत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x. cos x
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए।
f के सांतत्य की जाँच कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`"f"("x") = {("sin x" - "cos x""," " यदि" "x" ne 0),(-1"," " यदि" "x" = 0):}`
k के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
`"f"(x) = {("kx"^2"," " यदि" "x" le 2),(3"," " यदि" "x" > 2):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 2 पर
k के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
`"f"(x) = {("kx" + 1"," " यदि" "x" le pi),("cos x"","" यदि" "x" > pi):}` द्वारा परिभाषित फलन `"x" = pi` पर
दर्शाइए कि f(x) - cos (x2) द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
दर्शाइए कि f(x) = |cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
जाँचिए कि क्या sin |x| एक संतत फलन है।
f(x) = |x| - |x + 1| द्वारा परिभाषित फलन के सभी असांत्यता के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।
यदि `y = sin^-1 x + sin^-1 sqrt (1 - x^2), 0 <x <1` है तो `dy/dx` ज्ञात कीजिए।
यदि x = a (cost + t sin t) और y = a (sin t – tcost) है तो `(d^2y)/dx^2` ज्ञात कीजिए।
