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प्रश्न
यदि x = a (cost + t sin t) और y = a (sin t – tcost) है तो `(d^2y)/dx^2` ज्ञात कीजिए।
उत्तर
यहाँ x = a (cost + t sin t) y = a (sin t – tcost)
अब, x = a (cos t + t sin t),
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dx/dt = a (- sin t + t * cos t + sin t)`
= at cos t
तथा y = a (sin t - t cos t)
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dy/dx = a[cos t - {t (- sin t) + cos t}]`
= a {cos t + t sin t - cos t}
= at sin t
`therefore dy/dx = (dy//dt)/(dx//dt)`
`= (at sin t)/(at cos t)` = tan t
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(d^2y)/dx^2 = d/dx (dy/dx)`
`= d/dt (dy/dx) xx dt/dx`
`= d/dt (tan t) xx dt/dx`
`= sec^2 t xx 1/(at cos t) ...[because dx/dt = at cos t]`
`= 1/at sec^3 t`
∴ `(d^2y)/dx^2 = (sec^3 t)/(at), 0 <t <pi/2`
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