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प्रश्न
k के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
`"f"("x") = {(("k cos x")/(pi - 2"x")"," " यदि" "x" ne pi/2),(3"," " यदि" "x" = pi/2):}` द्वारा परिभाषित फलन `"x" = pi/2` पर
उत्तर
`"f"("x") = {(("k cos x")/(pi - 2"x")"," " यदि" "x" ne pi/2),(3"," " यदि" "x" = pi/2):}`
यदि f(x), x = `pi/2` पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
L.H.L. = `lim_(x -> pi^-/2) f(x) = lim_(h -> 0) (pi/2 - h)`
`= lim_(h -> 0) (k cos (pi/2 - h))/(pi - 2(pi/2 - h))`
`= lim_(h -> 0) (k sin h)/(pi - pi + 2h)`
`= lim_(h -> 0) k/2 (sin h)/h = k/2 ...(because lim_("h" -> 0) (sin h)/h = 1)`
R.H.L. = `lim_(x -> pi^+/2) f(x) = lim_(h -> 0) (pi/2 + h)`
`= lim_(h -> 0) (k cos (pi/2 + h))/(pi - 2(pi/2 + h))`
`= lim_(h -> 0) (- k sin h)/(- 2h)`
`= lim_(h -> 0) k/2 (sin h)/h = k/2`
`f(pi/2) = 3`
फलन f संतत x = `pi/2` होगा यदि
L.H.L. = R.H.L. = `f(pi/2)`
`therefore k/2 = 3`
⇒ k = 6
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