Advertisements
Advertisements
प्रश्न
फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
`"f"("x") = {(2"x""," " यदि", "x" < 0),(0"," " यदि", 0 le "x" le 1),(4"x" "," " यदि", "x" > 1):}`
उत्तर
`"f"("x") = {(2"x""," " यदि", "x" < 0),(0"," " यदि", 0 le "x" le 1),(4"x" "," " यदि", "x" > 1):}`
x < 0, के लिए f(x) = 2x;
0 < x < 1, f(x) = 0 तथा
x > 1, f(x) = 4 x एक बहुपद और सतत फलन है।
इसलिए यह फलन है।
x = 0 पर,
`lim_(x -> 0^-) f(x) = lim_(x -> 0^-)` (2 x)
= `lim_(h -> 0)` [2 (0 - h)]
= `lim_(h -> 0)` (-2h)
= - 2 × 0
= 0
`lim_(x -> 0^+) f(x) = lim_(x -> 0^+)` (0) = 0
अत: x = 0 पर f संतत है।
x = 1 पर,
`lim_(x -> 1^-) f(x) = lim_(x -> 1^-)` (0) = 0
`lim_(x -> 1^+) f(x) = lim_(x -> 1^+)` (4x)
= `lim_(h -> 0)` [4 (1 + h)]
= `lim_(h -> 0)` (4 + 4h)
= 4 + 4 × 0
= 4
अत: x = 1 पर संतत नहीं है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x - 3, x = 0, x = - 3 तथा x = 5 पर संतत है।
x = 3 पर फलन f(x) = 2x2 - 1 के सातत्य की जाँच कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xn, x = n, पर संतत है, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
निम्नलिखित फलन की सातत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = x - 5
निम्नलिखित फलन की सातत्य की जाँच कीजिए:
f(x) `= 1/(x - 5), x ne 5`
निम्नलिखित फलन की सातत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = `abs (x - 5)`
क्या `f (x) = {(x, "यदि" x<=1),(5, "यदि" x > 1):}` द्वारा परिभाषित फलन f, x = 0, x = 1 तथा x = 2 पर संतत है?
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f (x) = {(x/|x|, "यदि" x<0),(-1, "यदि" x >= 0):}`
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f(x) = {(x^3 - 3, "यदि" x <= 2),(x^2 + 1, "यदि" x > 2):}`
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f (x) = {(x^10 - 1, "यदि" x<=1),(x^2, "यदि" x > 1):}`
क्या `f (x) = {(x+5, "यदि" x<=1),(x - 5, "यदि" x > 1):}` द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?
फलन f के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
`"f"("x") = {(3"," " यदि", 0 le "x" le 1),(4"," " यदि", 1 < "x" < 3),(5"," " यदि", 3 le "x" le 10):}`
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए। जिनके लिए `f(x)= {(ax + 1, "यदि" x<= 3),(bx + 3, "यदि" x > 3):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
`lambda` के किस मान के लिए `"f"("x") = {(lambda ("x"^2 - 2"x")"," " यदि" "x" le 0), (4 "x" + 1"," " यदि" "x" > 0):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर संतत है। x = 1 पर इसके सांतत्य पर विचार कीजिए।
निम्नलिखित फलन के सातत्य पर विचार कीजिए -
f(x) = sin x + cos x
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए।
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ `f (x) = {(sinx/x, "यदि" x<0),(x + 1, "यदि" x >= 0):}`
निर्धारित कीजिए कि फलन f, `"f"("x") = {("x"^2 "sin" 1/"x""," " यदि" "x" ne 0),(0"," " यदि" "x" = 0):}` द्वारा परिभाषित एक संतत फलन है।
f के सांतत्य की जाँच कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`"f"("x") = {("sin x" - "cos x""," " यदि" "x" ne 0),(-1"," " यदि" "x" = 0):}`
k के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
`"f"(x) = {("kx"^2"," " यदि" "x" le 2),(3"," " यदि" "x" > 2):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 2 पर
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि `"f"(x) = {(5"," " यदि" x le 2),("a"x + "b""," " यदि" 2 < x < 10),(21"," " यदि" x ge 10):}` द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।
जाँचिए कि क्या sin |x| एक संतत फलन है।
f(x) = |x| - |x + 1| द्वारा परिभाषित फलन के सभी असांत्यता के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।
यदि `y = sin^-1 x + sin^-1 sqrt (1 - x^2), 0 <x <1` है तो `dy/dx` ज्ञात कीजिए।
