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प्रश्न
फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
`"f"("x") = {(2"x""," " यदि", "x" < 0),(0"," " यदि", 0 le "x" le 1),(4"x" "," " यदि", "x" > 1):}`
उत्तर
`"f"("x") = {(2"x""," " यदि", "x" < 0),(0"," " यदि", 0 le "x" le 1),(4"x" "," " यदि", "x" > 1):}`
x < 0, के लिए f(x) = 2x;
0 < x < 1, f(x) = 0 तथा
x > 1, f(x) = 4 x एक बहुपद और सतत फलन है।
इसलिए यह फलन है।
x = 0 पर,
`lim_(x -> 0^-) f(x) = lim_(x -> 0^-)` (2 x)
= `lim_(h -> 0)` [2 (0 - h)]
= `lim_(h -> 0)` (-2h)
= - 2 × 0
= 0
`lim_(x -> 0^+) f(x) = lim_(x -> 0^+)` (0) = 0
अत: x = 0 पर f संतत है।
x = 1 पर,
`lim_(x -> 1^-) f(x) = lim_(x -> 1^-)` (0) = 0
`lim_(x -> 1^+) f(x) = lim_(x -> 1^+)` (4x)
= `lim_(h -> 0)` [4 (1 + h)]
= `lim_(h -> 0)` (4 + 4h)
= 4 + 4 × 0
= 4
अत: x = 1 पर संतत नहीं है।
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