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प्रश्न
फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
`"f"("x") = {(-2"," " यदि", "x" le -1),(2"x"","" यदि", -1 le "x" le 1),(2"," " यदि", "x" > 1):}`
उत्तर
`"f"("x") = {(-2"," " यदि", "x" le -1),(2"x"","" यदि", -1 le "x" le 1),(2"," " यदि", "x" > 1):}`
x < 1 के लिए f(x) = -2;
-1 < x < 1, f(x) = 2x तथा
x > 1, f(x) = 2 एक बहुपद फलन है।
इसलिए यह फलन है।
x = - 1 पर,
`lim_(x -> 1^-) f(x) = lim_(x -> 1^-)` (-2) = -2
`lim_(x -> 1^+) f(x) = lim_(x -> 1^+)` (2x)
= `lim_(h -> 0)` [2 (-1 + h)]
= `lim_(h -> 0)` (-2 + 2h)
= - 2 + 0
= - 2
f(-1) = -2
अत: x = -1 पर f संतत है।
x = 1 पर,
`lim_(x -> 1^-) f(x) = lim_(x -> 1^-)` (2x)
= `lim_(h -> 0)` [2(1 - h)]
= `lim_(h -> 0)` (2 - 2h) = 2 - 2 x 0 = 2
`lim_(x -> 1^+) f(x) = lim_(x -> 1^+)` (2) = 2
f(1) = 2 x 1 = 2
अत: x = 1 पर f संतत है।
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