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प्रश्न
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ `f (x) = {(sinx/x, "यदि" x<0),(x + 1, "यदि" x >= 0):}`
उत्तर १
दृष्टिकोण 1:
मान लेते है की c एक असल अंक रेखा पर एक बिंदु है और c < 0
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
`"sin c"/"c"` संतत है, अर्थात sin c और c संतत फलन है, जोकि सच है।
अर्थात f(x) c < 0 के लिए संतत है।
दृष्टिकोण 2:
c = 0
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f (c) =`lim_(x -> "c"^+) "f"(x) = lim_(x -> "c"^-) "f"(x)`
`=> 1 = 1 = ("sin" 0)/0`
`=> 1 = 1 = 1`
जो सत्य है अर्थात f(x), x = 0 पर संतत है।
दृष्टिकोण 3:
मान लेते है की c एक असल अंक रेखा पर एक बिंदु है और c > 0
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
c + 1 संतत है, जोकि सच है।
अर्थात f(x) c > 0 के लिए संतत है।
उत्तर २
`f (x) = {(sinx/x, "यदि" x<0),(x + 1, "यदि" x >= 0):}`
x = 0 पर, f(0) = 1
L.H.L. = `lim_(x->0^+) f(x) = lim_(h->0)(sin(-h))/-h = 1`
R.H.L = `lim_(x->0^+) f(x) = lim_(h->0) (h + 1) = 0 + 1 = 1`
`lim_(x->0^-) f(x) = lim_(x->0^+) f (x) = f (0)`
∴ f, x = 0 पर संतत है।
जब x<0, sinx और x दोनों संतत हैं,
∴ `sinx/x` भी संतत है।
जब x>0, f(x) = x = x + 1 एक बहुपद है
∴ f संतत है।
= f किसी भी बिंदु पर असांतत्य नहीं है।
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