Advertisements
Advertisements
प्रश्न
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f(x) = {(x^3 - 3, "यदि" x <= 2),(x^2 + 1, "यदि" x > 2):}`
उत्तर
`f(x) = {(x^3 - 3, "यदि" x <= 2),(x^2 + 1, "यदि" x > 2):}`
x < 2 के लिए, f(x) = x3 - 3 तथा
x > 2, f(x) = x2 + 1 एक बहुपद फलन है।
इसलिए यह फलन है।
x = 2 पर,
`lim_(x -> 2^-)` f(x) = `lim_(x -> 2^-)` (x3 - 3)
`= lim_(h -> 0) [(2 - h)^3 - 3]`
`= lim_(h -> 0) [8 - h^3 - 12 h + 6h^2 - 3]`
`= lim_(h -> 0) (5 - h^3 - 12h + 6h^2) = 5`
`lim_(x -> 2^+) f(x) = lim_(x -> 2^+) (x^2 + 1)`
`= lim_(h -> 0) [(2 + h)^2 + 1]`
`= lim_(h -> 0) (4 + h^2 + 4h + 1)`
`= lim_(h -> 0) (5 + h^2 + 4h)`
= 5
f(2) = (2)3 - 3
= 8 - 3
= 5
अत: x = 2 पर f फलन है।
यहाँ कोई असांतत्य के बिंदु नहीं है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x - 3, x = 0, x = - 3 तथा x = 5 पर संतत है।
x = 3 पर फलन f(x) = 2x2 - 1 के सातत्य की जाँच कीजिए।
निम्नलिखित फलन की सातत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = x - 5
निम्नलिखित फलन की सातत्य की जाँच कीजिए:
f(x) `= (x^2 - 25)/(x + 5), x ne -5`
निम्नलिखित फलन की सातत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = `abs (x - 5)`
क्या `f (x) = {(x, "यदि" x<=1),(5, "यदि" x > 1):}` द्वारा परिभाषित फलन f, x = 0, x = 1 तथा x = 2 पर संतत है?
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f(x) = {(|x|+3, "यदि" x<= -3),(-2x, "यदि" -3 < x < 3),(6x + 2, "यदि" x >= 3):}`
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f(x) = {(|x|/x , "यदि" x != 0),(0, "यदि" x = 0):}`
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f (x) = {(x/|x|, "यदि" x<0),(-1, "यदि" x >= 0):}`
क्या `f (x) = {(x+5, "यदि" x<=1),(x - 5, "यदि" x > 1):}` द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?
फलन f के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
`"f"("x") = {(3"," " यदि", 0 le "x" le 1),(4"," " यदि", 1 < "x" < 3),(5"," " यदि", 3 le "x" le 10):}`
फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
`"f"("x") = {(2"x""," " यदि", "x" < 0),(0"," " यदि", 0 le "x" le 1),(4"x" "," " यदि", "x" > 1):}`
निम्नलिखित फलन के सातत्य पर विचार कीजिए -
f(x) = sin x + cos x
निम्नलिखित फलन के सातत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x. cos x
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए।
निर्धारित कीजिए कि फलन f, `"f"("x") = {("x"^2 "sin" 1/"x""," " यदि" "x" ne 0),(0"," " यदि" "x" = 0):}` द्वारा परिभाषित एक संतत फलन है।
k के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
`"f"("x") = {(("k cos x")/(pi - 2"x")"," " यदि" "x" ne pi/2),(3"," " यदि" "x" = pi/2):}` द्वारा परिभाषित फलन `"x" = pi/2` पर
k के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
`"f"(x) = {("kx"^2"," " यदि" "x" le 2),(3"," " यदि" "x" > 2):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 2 पर
k के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
`"f"(x) = {("kx" + 1"," " यदि" "x" le pi),("cos x"","" यदि" "x" > pi):}` द्वारा परिभाषित फलन `"x" = pi` पर
दर्शाइए कि f(x) = |cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
यदि `y = sin^-1 x + sin^-1 sqrt (1 - x^2), 0 <x <1` है तो `dy/dx` ज्ञात कीजिए।
यदि - 1 < x < 1 के लिए `xsqrt(1 + y) + y sqrt(1 + x) = 0` है तो सिद्ध कीजिए की `dy/dx = - 1/(1 + x)^2`.
यदि x = a (cost + t sin t) और y = a (sin t – tcost) है तो `(d^2y)/dx^2` ज्ञात कीजिए।
