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Question
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f(x) = {(x^3 - 3, "यदि" x <= 2),(x^2 + 1, "यदि" x > 2):}`
Solution
`f(x) = {(x^3 - 3, "यदि" x <= 2),(x^2 + 1, "यदि" x > 2):}`
x < 2 के लिए, f(x) = x3 - 3 तथा
x > 2, f(x) = x2 + 1 एक बहुपद फलन है।
इसलिए यह फलन है।
x = 2 पर,
`lim_(x -> 2^-)` f(x) = `lim_(x -> 2^-)` (x3 - 3)
`= lim_(h -> 0) [(2 - h)^3 - 3]`
`= lim_(h -> 0) [8 - h^3 - 12 h + 6h^2 - 3]`
`= lim_(h -> 0) (5 - h^3 - 12h + 6h^2) = 5`
`lim_(x -> 2^+) f(x) = lim_(x -> 2^+) (x^2 + 1)`
`= lim_(h -> 0) [(2 + h)^2 + 1]`
`= lim_(h -> 0) (4 + h^2 + 4h + 1)`
`= lim_(h -> 0) (5 + h^2 + 4h)`
= 5
f(2) = (2)3 - 3
= 8 - 3
= 5
अत: x = 2 पर f फलन है।
यहाँ कोई असांतत्य के बिंदु नहीं है।
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