Advertisements
Advertisements
Question
निम्नलिखित फलन के सातत्य पर विचार कीजिए -
f(x) = sin x + cos x
Solution
मान लीजिए a एक मनमाना वास्तविक संख्या है तो f(a) = sina + cosa
`lim_(x->a^+) f(x) = lim_(h->0)[sin(a + h) + cos(a+h)]`
`lim_(h->0){(sin acosh + cosa sin h) + (cos a cos h - sina sinh)}`
= sina cos0 + cosa sin0 + cosa cos0 - sina sin0
= sina (1) + cosa(0) + cosa(1) - sina(0)
= sina + cosa
`lim_(x->a^-)f(x) = lim_(h->0)[sin(a-h) + cos (a - h)]`
= `lim_(h->a^-)[(sina cosh - cosa sinh) + (cosa cosh + sina sinh)]`
= sina + cosa
∴ `lim_(x->a^-) f(x) = f (a) = lim_(x->a^+) f(x)`
= f(x) x = a पर संतत है।
∴ f(x) = sinx + cosx सर्वत्र संतत है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x - 3, x = 0, x = - 3 तथा x = 5 पर संतत है।
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xn, x = n, पर संतत है, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
निम्नलिखित फलन की सातत्य की जाँच कीजिए:
f(x) `= 1/(x - 5), x ne 5`
निम्नलिखित फलन की सातत्य की जाँच कीजिए:
f(x) `= (x^2 - 25)/(x + 5), x ne -5`
क्या `f (x) = {(x, "यदि" x<=1),(5, "यदि" x > 1):}` द्वारा परिभाषित फलन f, x = 0, x = 1 तथा x = 2 पर संतत है?
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f (x) = {(x/|x|, "यदि" x<0),(-1, "यदि" x >= 0):}`
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f (x) = {(x+1, "यदि" x>=1),(x^2+1, "यदि" x < 1):}`
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f(x) = {(x^3 - 3, "यदि" x <= 2),(x^2 + 1, "यदि" x > 2):}`
क्या `f (x) = {(x+5, "यदि" x<=1),(x - 5, "यदि" x > 1):}` द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?
फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
`"f"("x") = {(2"x""," " यदि", "x" < 0),(0"," " यदि", 0 le "x" le 1),(4"x" "," " यदि", "x" > 1):}`
फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
`"f"("x") = {(-2"," " यदि", "x" le -1),(2"x"","" यदि", -1 le "x" le 1),(2"," " यदि", "x" > 1):}`
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए। जिनके लिए `f(x)= {(ax + 1, "यदि" x<= 3),(bx + 3, "यदि" x > 3):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
निम्नलिखित फलन के सातत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x. cos x
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए।
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ `f (x) = {(sinx/x, "यदि" x<0),(x + 1, "यदि" x >= 0):}`
निर्धारित कीजिए कि फलन f, `"f"("x") = {("x"^2 "sin" 1/"x""," " यदि" "x" ne 0),(0"," " यदि" "x" = 0):}` द्वारा परिभाषित एक संतत फलन है।
k के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
`"f"(x) = {("kx" + 1"," " यदि" "x" le pi),("cos x"","" यदि" "x" > pi):}` द्वारा परिभाषित फलन `"x" = pi` पर
k के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
`"f"(x) = {("kx" + 1"," " यदि" x le 5),(3x - 5"," " यदि" x > 5):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 5 पर
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि `"f"(x) = {(5"," " यदि" x le 2),("a"x + "b""," " यदि" 2 < x < 10),(21"," " यदि" x ge 10):}` द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।
दर्शाइए कि f(x) = |cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
जाँचिए कि क्या sin |x| एक संतत फलन है।
f(x) = |x| - |x + 1| द्वारा परिभाषित फलन के सभी असांत्यता के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।
यदि `y = sin^-1 x + sin^-1 sqrt (1 - x^2), 0 <x <1` है तो `dy/dx` ज्ञात कीजिए।
यदि - 1 < x < 1 के लिए `xsqrt(1 + y) + y sqrt(1 + x) = 0` है तो सिद्ध कीजिए की `dy/dx = - 1/(1 + x)^2`.
