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Question
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए।
Solution
(i) f (x) = cos (x)
मानलेते है की c एक कोई भी असली अंक है।
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) = `lim_(x -> c^+) f(x) = lim_(x -> c^-) f (x)`
⇒ (cos c) = (cos c) = (cos c)
जो सत्य है, अर्थात f(x) असली अंक रेखा के हर बिंदु पर संतत है।
(ii) f(x) = cosec (x)
मानलेते है की c एक कोई भी असली अंक है।
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) = `lim_(x ->^+) f(x) = lim_(x -> c^-) f(x)`
`=>` (cosec c) = (cosec c) = (cosec c)
जो सत्य है, अर्थात f(x) असली अंक रेखा के हर बिंदु पर संतत है।
(iii) f(x) = sec (x)
मानलेते है की c एक कोई भी असली अंक है।
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) = `lim_(x -> c^+) f(x) = lim_(x -> c^-) f(x)`
`=>` (sec c) = (sec c) = (sec c)
जो सत्य है, अर्थात f(x) असली अंक रेखा के हर बिंदु पर संतत है।
(iv) f(x) = cot (x)
मानलेते है की c एक कोई भी असली अंक है इस प्रकार की (n - 1)`pi < x < npi,` जहाँ n एक पूर्णांक बिंदु को निरूपित करता है।
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) `= lim_(x -> c^+) f (x) = lim_(x -> c^-) f(x)`
`=>` (cot c) = (cot c) = (cot c)
जो सत्य है, अर्थात f(x) असली अंक रेखा के हर बिंदु पर संतत है जो (n - 1)`pi` से `n pi` के बिच है।
अब यदि हम माने c इस प्रकार है की c = `n pi` जहाँ n एक पूर्णांक बिंदु की निरूपित करता है, तो:
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) `= lim_(x -> c^+) f(x) = lim_(x -> c^-) f(x)`
`=> pm infty = pm infty = pm infty`
अर्थात f(x) असली अंक रेखा के हर बिंदु पर संतत है सिवाए उनके जो `n pi` बिंदुओं के प्रकार है।
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