Advertisements
Advertisements
Question
निम्नलिखित फलन के सातत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x - cos x
Solution
मान लीजिए a एक मनमाना वास्तविक संख्या है तो f(a) = sin a - cosa
`lim_(x->a ^+) f(x) = lim_(h->0) sin (a + h) - cos (a + h)`
= `lim_(h->0){(sina cosh + cosa sinh) - cosa cosh - sina sinh}`
= sina cos0 + cosa sin0- cosa cos0 + sina sin0
= sina(1) + cosa(0) - cosa(1) + sina(0)
= sina - cosa
`lim_(x->a^-) f(x) = lim_(h->0)[(sin(a - h) - cos (a - h)]`
= `lim_(h->0)[(sina cosh - cosa sinh) - (cosa cosh + sina sinh)]`
= sin a - cosa
∴ `lim_(x->a^-) f(x) = lim_(x->a^+) f (x) = f(a)`
⇒ f(x) x = a पर संतत है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x - 3, x = 0, x = - 3 तथा x = 5 पर संतत है।
x = 3 पर फलन f(x) = 2x2 - 1 के सातत्य की जाँच कीजिए।
निम्नलिखित फलन की सातत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = x - 5
निम्नलिखित फलन की सातत्य की जाँच कीजिए:
f(x) `= (x^2 - 25)/(x + 5), x ne -5`
निम्नलिखित फलन की सातत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = `abs (x - 5)`
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f (x) = {(2x + 3, "यदि" x<=2),(2x - 3, "यदि" x > 2):}`
क्या `f (x) = {(x, "यदि" x<=1),(5, "यदि" x > 1):}` द्वारा परिभाषित फलन f, x = 0, x = 1 तथा x = 2 पर संतत है?
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f(x) = {(|x|+3, "यदि" x<= -3),(-2x, "यदि" -3 < x < 3),(6x + 2, "यदि" x >= 3):}`
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f (x) = {(x+1, "यदि" x>=1),(x^2+1, "यदि" x < 1):}`
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`f (x) = {(x^10 - 1, "यदि" x<=1),(x^2, "यदि" x > 1):}`
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए। जिनके लिए `f(x)= {(ax + 1, "यदि" x<= 3),(bx + 3, "यदि" x > 3):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
निम्नलिखित फलन के सातत्य पर विचार कीजिए -
f(x) = sin x + cos x
निम्नलिखित फलन के सातत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x. cos x
f के सांतत्य की जाँच कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
`"f"("x") = {("sin x" - "cos x""," " यदि" "x" ne 0),(-1"," " यदि" "x" = 0):}`
k के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
`"f"(x) = {("kx"^2"," " यदि" "x" le 2),(3"," " यदि" "x" > 2):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 2 पर
k के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
`"f"(x) = {("kx" + 1"," " यदि" "x" le pi),("cos x"","" यदि" "x" > pi):}` द्वारा परिभाषित फलन `"x" = pi` पर
जाँचिए कि क्या sin |x| एक संतत फलन है।
यदि `y = sin^-1 x + sin^-1 sqrt (1 - x^2), 0 <x <1` है तो `dy/dx` ज्ञात कीजिए।
यदि - 1 < x < 1 के लिए `xsqrt(1 + y) + y sqrt(1 + x) = 0` है तो सिद्ध कीजिए की `dy/dx = - 1/(1 + x)^2`.
