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Question
दर्शाइए कि g(x) = x - [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णांक बिंदुओं पर असंतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णाक निरूपित करता है, जो x के बराबर या x से कम है।
Solution 1
g(x) = x - [x]
मानलेते है की n एक पूर्णांक बिंदु को निरूपित करता है:
यदि g(x), x = n पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
g(n) = `lim_("x" -> "n"^+) "g" ("x") = lim_("x" -> "n"^-) "g"("x")`
= (n - n) = (n - n) = (n - (n - 1))
`=> 0 = 0 = 1`
जो सत्य नहीं हो सकता, अर्थात g(x) किसी भी पूर्णांक बिंदुक पर संतत नहीं है।
Solution 2
माना, n ∈ I.
तब`lim_(x->n^-)[x] = n - 1`
∵[x] = n - 1 ∀ x ∈ [n - 1,n]
और g(n) = n - n = 0 ∵ [n] = n क्योंकि n ∈ I]
अब,
`lim_(x->n^-) g(x) = lim_(x->n^-) (x - [x]) = lim_(x->n^-) x - lim_(x->n^-)[x] = n - (n - 1) = 1`
and `lim_(x->n^+) g(x) = lim_(x->n^+)(x - [x]) = lim_(x->n^+)x - lim_(x->n^+)[x] = n - n = 0`
`lim_(x->n^-) g(x) ne lim_(x->n^+)g(x)`
अतः g(x) किसी भी पूर्णांक बिंदुक पर संतत नहीं है।
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