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प्रश्न
निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए।
`int_0^(pi/2) sin^3 x dx = 2/3`
उत्तर १
माना I = `int_0^(pi/2) sin^3 x`
`= int_0^(pi/2) sin^2 x * sin x dx`
`= int_0^(pi/2) (1 - cos^2 x) sin x dx`
I = `int_0^(pi/2) sin x dx - int_0^(pi/2) cos^2 x sin x dx`
`= I_1 ("माना") - I_2 ("माना")`
`therefore I_1 = int_0^(pi/2) sin x dx = - [cos x]_0^(pi//2)`
`= - (cos pi/2 - cos 0) = - (0 - 1) = 1`
`I_2 = int_0^(pi/2) cos^2 x sin x dx`
cos x = t रखने पर,
⇒ - sin x dx = dt
∴ I2 = - `int_1^0 t^2 dt`
जब x = 0, t = 1; जब x = `pi/2`, t = 0
`= int_0^1 t^2 dt = [t^3/3]_0^1 = 1/3`
`therefore I = I_1 - I_2 = 1 - 1/3 = 2/3`
उत्तर २
`= int_0^(pi/2) sin^3 x dx`
`= 1/4 int_0^(pi/2) (3 sinx - sin 3x) dx` `....[∵ sin 3x = 3 sin x - 4 sin 3x]`
`= 1/4 [-3 cos x + (cos 3x)/3]_0^(pi/2)`
`= 1/4 [- 3 cos pi/2 + 1/3 cos (3pi)/2] - 1/4 [- 3 cos 0 + (cos0)/3]`
`= 1/4 [0 + 0 + 3 - 1/3]`
`= 1/4 (8/3)`
`= 2/3`
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