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प्रश्न
योग की सीमा के रूप में निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए।
`int_0^4 ("x" + "e"^(2"x"))` dx
उत्तर
यहाँ f(x) = x + e2x
a = 0, b = 4 तब nh = 4 - 0 = 4
परिभाषानुसार,
`int_0^4 ("x" + "e"^(2"n")) "dx" lim_("h" -> 0)` h [f(0) + f(0 + h) ... + f{0 + (n - 1) h}]
`= lim_("h" -> 0) "h" [1 + ("h" + "e"^(2"h")) + (2"h" + "e"^(4"h")) .... + ("n" - 1) "h" + "e"^(2("n" - 1)"h")]`
`= lim_("h" -> 0) "h" [{1 + "h" + 2"h" + 3"h" ... ("n" - 1) "h"} + e^(2"h") + 24"h" + "e"("n" - 1)"h"]`
`= lim_("h"-> 0)` h [1 + h {1 + 2 + .... (n - 1)} + `"e"^"2h" {1 + "e"^"2h" + "e"^"4h" - ..... "e"^(("n" - 2)"h")}]`
`= lim_("h" -> 0) "h" [1 + "h"/2 "n"("n" - 1) + "e"^(2"h") {(1 + "e"^(2 ("n" - 1)"h") - 1)/("e"^(2"h") - 1)}]`
`= lim_("h" -> 0) {"h" + ("nh" ("nh - h"))/2 1/2 "e"^(2"h") . ("e"^(2("nh - h")) - 1)/(("e"^(2"h") - 1)/(2"h"))}` ....(∵ nh = 4)
`= lim_(h -> 0) {"h" + (4(4 - "h"))/2 + 1/2 .("e"^(2"h") * "e"^(2(4 - "h")) - 1)/(("e"^"2h" - 1)/(2"h")) }`
`= 0 + 16/2 + 1/2 ("e"^0 . ("e"^8 - 1))/("log e")`
`= 8 + 1/2 ("e"^8 - 1)`
`= (15 + "e"^8)/2`
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