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प्रश्न
योग की सीमा के रूप में निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए।
`int_(-1)^1 "e"^"x"` dx
उत्तर
यहाँ f(x) = ex dx, a = -1 और b = 1
तब nh = b = a = 2
परिभाषानुसार,
`int_(-1)^1 "e"^"x" "dx" = lim_("h" -> 0)` h[(-1) + f(-1 + h) .... f {-1 + (n - 1) h}]
जहाँ nh = 2
`= lim_("h" -> 0) "h" ["e"^(-1) + "e"^(-1 + "h") + "e"^(-1 + 2"h") .... + "e"^(-1 + ("n" - 1)"h")]`
`= lim_("h" -> 0) "e"^(-1) "h" [1 + "e"^"h" + "e"^(2"h") + "e"^(3"h") .... "e"^(("n" - 1)"h")]`
`= lim_("h" -> 0) "e"^(-1) "h" [(("e"^"h")^"n" - 1)/("e"^"h" - 1)]`
`= 1/"e" lim_("h" -> 0) ("h"("e"^2 - 1))/("e"^"h" - 1)` (∵ nh = 2)
`= 1/"e" lim_("h" -> 0) ("h"("e"^2 - 1))/({1 + "h" + "h"^2/(2!) ...... infty} - 1)`
`= 1/"e" lim_("h" -> 0) ("e"^2 - 1)/(("h" + "h"^2/(2!) + "h"^2/(3!) .... infty))`
= `1/"e" ("e"^2 - 1) = "e" - 1/"e"`
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