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प्रश्न
योग की सीमा के रूप में निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए।
`int_2^3 "x"^2` dx
उत्तर
दिया है `int_2^3 "x"^2` dx
यहाँ f(x) = x2, a = 2, b = 3
तब nh = b - a - 3 - 2 = 1
परिभाषानुसार.
`int_2^3 "x"^2` dx = `lim_("h" -> 0)` h [f(2) + f(2 + h) + .... f{2 + (n - 1) h}]
`= lim_("h" -> 0)` h [22 + (2 + h)2 + (2 + 2h)2 + ..... {2 + (n - 1) h}2]
`= lim_("h" -> 0)` h [4 + (4 + h2 + 4h + (4 + 4h2 + 8h)+ ...... {4 + (n - 1)2 + 4(n - 1) h}]
`= lim_("h" -> 0)` h[4 {1 + 1 + 1 .... n) + h2 (12 + 22 + 32)...... (n - 1)2} + h {4 + 8 + 12 .... 4(n - 1)}]
`= lim_("h" -> 0) "h"[4"n" + "h"^2 1/6 ("n" - 1) "n"(2"n" - 1) + 4"h" xx ("n" ("n" - 1))/2]`
`= lim_("h" -> 0) [4"nh" + 1/6 ("nh - h"). "nh" (2"nh - h") + 2"nh" ("nh - h")]`
`= lim_("h" -> 0) [4 + 1/6 (1 - "h") 1. (2 - "h") + 2. 1. (1 - "h")]` ...(∵ nh = 1)
` = 4 + 1/6 (2) + 2`
`= 6 + 1/3`
`= 19/3`
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