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प्रश्न
निम्नलिखित प्रकार से समुच्चय {0, 1, 2, 3, 4, 5} में एक द्विआधारी संक्रिया * परिभाषित कीजिए
a * b = `{(a+b"," "यदि" a+b < 6), (a + b - 6"," "यदि" a + b ≥ 6):}`
सिद्ध कीजिए कि शुन्य (0) इस संक्रिया का तत्समक है तथा समुच्चय का प्रत्येक अवयव a ≠ 0 व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि 6 - a, a का प्रतिलोम है |
उत्तर
मान लीजिए, X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} तथा x पर द्विआधारी संक्रिया,
a * b = `{(a+b"," "यदि" a+b < 6), (a + b - 6"," "यदि" a + b ≥ 6):}`
एक अवयव x ∈ X तत्समक होगा।
यदि a3e = eba = aa ∈ X
अब, हम जानते हैं कि,
a * 0 = a + 0 = a
तथा 0 * a = 0 + a = a अत: द्विआधारी संक्रिया * के लिए '0' तत्समक अवयव है। एक अवयव a ∈ X प्रतिलोमी होगा, यदि X में एक अवयव b ∈ X इस प्रकार विद्यमान हो कि,
a * b = b * a = 0
अर्थात, `{(a+b = b + a = 0, "यदि" a + b < 6),(a + b - 6 = 0 = b + a - 6, "यदि" a + b ≥ 6):}`
अर्थात, a = -b या b = 6 - a
क्यूंकि a, b ∈ X, तो a = -b नहीं हो सकता
तब, b = 6 - a
अतः b = 6 - a, a का प्रतिलोम है।
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(i) (2 * 3) * 4 तथा 2 * (3 * 4) का परिकलन कीजिए।
(ii) क्या * क्रमविनिमेय है?
(iii) (2 * 3) * (4 * 5) का परिकलन कीजिए।
(संकेत : निम्न सारणी का प्रयोग कीजिए।)
| * | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | 2 | 1 | 4 | 1 |
| 5 | 1 | 1 | 1 | 1 | 5 |
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5 * 7, 20 * 16
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