Question

a * b = |a - b| तथा a o b = a, ∀ a, b ∈ R द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रियाओं * : R × R → R तथा o : R × R → R पर विचार कीजिए | सिद्ध कीजिए कि * क्रमविनिमेय है परंतु साहचर्य नहीं है, o साहचर्य है परंतु क्रमविनिमेय नहीं है | पुनः सिद्ध कीजिए कि सभी a, b, c ∈ R के लिए a * (b o c) = (a * b) o (a * c) है | यदि ऐसा होता है, तो हम कहते हैं कि संक्रिया * संक्रिया o पर वितरित होती है | क्या o संक्रिया * पर वितरित है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए |

Answer 1

यह दिया गया है, * : R × R : → R और o : R × R → R परिभाषित किया गया है a * b = |a - b| और a o b = a, & mn के लिए E; a, b ∈ R.

a, b ∈ R के लिए, हमारे पास है:

a * b = |a - b|

b * a = |b - a| = |-(a - b)| = |a - b|

∴ a * b = b * a

∴ कार्यवाही * विनिमय है |

यह देखा जा सकता है कि,

(1 . 2) . 3 = (|1 - 2|) . 3 = 1 . 3 = |1 - 3| = 2

1 * (2 * 3) = 1 * (|2 - 3|) = 1 * 1 = |1 - 1| = 0

∴ (1 * 2) * 3! = 1 * (2 * 3) (where 1, 2, 3 ∈ R)

∴ कार्यवाही * सहयोगी नहीं है।

अब, ऑपरेशन o पर विचार करें:

यह देखा जा सकता है कि, 1 o 2 = 1 और 2 o 1 = 2.

∴ 1 o 2 ≠ 2 o 1 (where 1, 2 ∈ R)

∴ संचालन o क्रमविनिमेय नहीं है।

मान लीजिए a, b, ∈ R. तब, हमारे पास है:

(a o b) o c = a o c = a

a o (b o c) = a o b = a

⇒ a o b) o c = a o (b o c)

∴ संक्रिया o साहचर्य है।

अब, मान लीजिए a, b, c ∈ R, तो हमारे पास है:

a * (b o c) = a * b = |a - b|

(a * b) o (a * c) = (|a - b|) o (|a - c|) = |a - b|

इसलिए, a * (b o c) = (a * b) o (a * c).

अभी,

1 o (2 * 3) = 1 o (|2 - 3|) = 1 o 1 = 1

(1 o 2) * (1 o 3) = 1 * 1 = |1 - 1| = 0

∴ 1 o (2 * 3) ≠ (1 o 2) * (1 o 3) (जहाँ पे 1, 2, 3 ∈ R)

अतः: द्विआधारी संक्रिया ०, द्विआधारी संक्रिया * पर वितरित नहीं होती है।