Question

निम्नलिखित युगपत समीकरण हल कीजिए।

`1/(2(3"x" + 4"y")) + 1/(5(2"x" - 3"y")) = 1/4; 5/((3"x" + 4"y")) - 2/((2"x" - 3"y")) = -3/2`

Answer 1

`1/(2(3"x" + 4"y")) + 1/(5(2"x" - 3"y")) = 1/4` .........(I)

`5/((3"x" + 4"y")) - 2/((2"x" - 3"y")) = -3/2` .............(II)

समीकरण (I) तथा (II) में `1/((3"x" + 4"y"))` = m तथा `1/((2"x" - 3"y"))` = n प्रतिस्थापित करने पर,

`1/2"m" + 1/5"n" = 1/4` .......(III)

5m − 2n = `-3/2` .......(IV)

समीकरण (III) में 20 से गुणा करने पर,

∴ 10m + 4n = 5 .......(V)

समीकरण (IV) में 2 से गुणा करने पर,

∴ 10m − 4n = − 3 ..................(VI)

समीकरण (V) तथा समीकरण (VI) को जोड़ने पर,

    10m + 4n = 5 .......(V)
+ 10m − 4n = − 3 ..................(VI)
20m = 2

∴ m = `2/20 = 1/10`

समीकरण (V) में m = `1/10` प्रतिस्थापित करने पर,

∴ `10 xx 1/10 + 4"n" = 5`

∴ 1 + 4n = 5

∴ 4n = 5 − 1 = 4

∴ n = 1

परतुं, `1/((3"x" + 4"y"))` = m तथा `1/((2"x" - 3"y"))` = n

∴ m तथा n का मान उपर्युक्त समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,

`1/((3"x" + 4"y")) = 1/10`

 ∴ 3x + 4y = 10 .........(VII)

तथा `1/((2"x" - 3"y")) = 1`

∴ 2x − 3y = 1 .......(VIII)

समीकरण (VII) में 3 से गुणा करने पर,

9x + 12y = 30 ...................(IX)

समीकरण (VIII) में 4 से गुणा करने पर,

8x − 12y = 4 ....................(X)

समीकरण (IX) तथा (X) को जोड़ने पर,

    9x + 12y = 30 ...................(IX)
+ 8x − 12y = 4 ....................(X)
17x = 34

∴ x = `34/17` = 2

∴ x = 2

समीकरण (VIII) में x = 2 प्रतिस्थापित करने पर,

2x − 3y = 1 .......(VIII)

∴ 2 × 2 − 3y = 1

∴ 4 − 3y = 1

∴ 4 − 1 = 3y

∴ 3y = 3

∴ y = 1

∴ दिए गए समीकरणों का हल (x, y) = (2, 1) है।