Question

निश्चित समाकलन में गुणधर्म का उपयोग करते हुए प्रश्न में समाकलन का मान ज्ञात कीजिए-

`int_0^1  x(1 - x)^n  dx`

Answer 1

`int_0^1  (1 - x) [1 - (1 - x)^n] dx        ...[because int_0^a  f(x) dx = int_0^a  f(a - x) dx]`

अत:  `I = int_0^1 (1 - x).x^n  dx`

`I = int_0^1  (x^n - x^(n + 1))  dx`

`= ([x^(n + 1)]_0^1)/(n + 1) - ([n^(n + 2)]_0^1)/(n + 2)`

`= 1/(n + 2) - 1/(n + 2)`

`= (n + 2 - n - 1)/((n + 1)(n + 2))`

`= 1/((n + 1)(n + 2))`