Question

निश्चित समाकलन में गुणधर्म का उपयोग करते हुए प्रश्न में समाकलन का मान ज्ञात कीजिए-

`int_0^(pi/2)  cos^5 x/(sin^5 x + cos^5 x)  dx`

Answer 1

माना `I = int_0^(pi/2) (cos^5 x)/ (sin^5 x + cos ^5 x)  dx`    ....(i)

इसके अलावा, `I = int_0^(pi/2) (cos^5 (pi/2 - x))/(sin^5 (pi/2 - x) + cos^5 (pi/2 - x)) dx`

`[∵ int_0^a f (x) dx = int_0^a f (a - x) dx]`

`= int_0^(pi/2) (sin^5 x)/ (cos^5x + sin^5 x)  dx`          ....(ii)

(i) और (ii) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है।

`2 I = int_0^(pi/2) (cos^5x)/(cos^5x + sin^5 x)  dx + int_0^(pi/2) (sin^5x)/ (cos^5 x + sin^5 x)  dx`

`= int_0^(pi/2) (cos^5 x + sin^5 x)/ (cos^5 x + sin^5 x) dx`

`= int_0^(pi/2) 1 dx = [x]_0^(pi/2) = pi/2`

अतः `I = pi/4`