Question

निश्चित समाकलन में गुणधर्म का उपयोग करते हुए प्रश्न में समाकलन का मान ज्ञात कीजिए-

`int_0^(pi//2) (2 log  sin x - log  sin 2x)  dx`

Answer 1

माना `I = int_0^(pi/2) (2 log sin x - log sin 2x) dx`

`= int_0^(pi/2) [2 log sin x - log (2 sin x cos x)] dx`

`= int_0^(pi/2) [2 log sinx  - log 2 - log sin x -  log cos x] dx`

`= int_0^(pi/2) [log sin x -  log 2 - log cos x] dx`

`= int_0^(pi/2) log sin x dx - int_0^(pi/2) log 2 dx - int_0^(pi/2) log cos x dx`

`= int_0^(pi/2) log sin x dx - int_0^(pi/2) log 2 dx - int_0^(pi/2) log cos (pi/2 - x)  dx`       `....[∵ int_0^a f (x) dx = int_0^a  f (a - x) dx]`

`= int_0^(pi/2) log sinx dx - (log 2) [x]_0^(pi/2) - int_0^(pi/2) log sin x dx`

`= - (log 2) (pi/2 - 0)`

`= pi/2 log2`

`= pi/2 log (2)^-1`

`= pi/2 log (1/2)`