Question

निश्चित समाकलन में गुणधर्म का उपयोग करते हुए प्रश्न में समाकलन का मान ज्ञात कीजिए-

`int_0^(pi//2)  (sin x - cos x)/(1 + sin x cos x)  dx`

Answer 1

`I = int_0^(pi/2) (sin x - cosx)/(1+sinx cos x) dx`    ....(i)

`I = int_0^(pi/2) (sin (pi/2-x)-cos(pi/2-x))/(1 + sin(pi/2-x)cos(pi/2-x))dx`

`I = int_0^(pi/2) (cosx-sinx)/(1+cosxsinx)dx`    .....(ii)

(i) और (ii) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

`2 I = int_0^(pi/2) ((sin x - cos x)/ (1 + sin x cos x) + (cos x - sin x)/ (1 + sin x cos x))  dx`

`2I = int_0^(pi/2)(sinx-cosx+ cosx - sinx)/(1 +sinxcosx)    dx`

`2I = 0 ⇒ I = 0`

`⇒ int_0^(pi/2) (sinx-cosx)/(1+sinxcosx)  dx = 0`