Question

प्रवणता -1 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y ${\displaystyle =\frac{1}{\text{x}-1},\text{x}\ne -1}$ को स्पर्श करती है।

Answer 1

दिया है, वक्र का समीकरण y ${\displaystyle =\frac{1}{\text{x}-1}}$

दोनों पक्षों का के सापेक्ष अवकलन करने पर,  ${\displaystyle \frac{\text{dy}}{\text{dx}}=-\frac{1}{{(\text{x}-1)}^2}}$      ...(1)

चूँकि स्पर्श रेखा की प्रवणता = -1         ...(2)

समीकरण (1) तथा (2) से,

${\displaystyle -\frac{1}{{(\text{x}-1)}^2}=-1}$

${\displaystyle \Rightarrow {(\text{x}-1)}^2=1}$

${\displaystyle \Rightarrow \text{x}-1=\pm 1}$

${\displaystyle \therefore }$ x = 0, 2

जब x = 0, तब y${\displaystyle =\frac{1}{0-1}=-1}$

जब x = 2, तब y ${\displaystyle =\frac{1}{2-1}=\frac{1}{1}=1}$

${\displaystyle \therefore }$ (0, -1) तथा (2, 1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = - 1

${\displaystyle \therefore }$ (0, -1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण y + 1 = (- 1)(x - 0)

⇒ y + 1 = - x या x + y + 1 = 0

तथा (2, 1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण, y - 1 = (-1) (x - 2)

⇒ y - 1 = - x + 2

⇒ y - 1 + x - 2 = 0

${\displaystyle \therefore }$ x + y - 3 = 0

अत: अभीष्ट स्पर्श रेखाओं के समीकरण x + y + 1 = 0 और x + y - 3 = 0 है।