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प्रश्न
अतिपरवलय `"x"^2/"a"^2 - "y"^2/"b"^2 = 1` के बिंदु (x0, y0) पर स्पर्श रेखा तथा अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर
दिया है, वक्र का समीकरण `"x"^2/"a"^2 - "y"^2/"b"^2 = 1`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(2"x")/"a"^2 - (2"y")/"b"^2 "dy"/"dx" = 0`
`=> (2"y")/"b"^2 "dy"/"dx" = (2"x")/"a"^2 `
`=> "dy"/"dx" = "b"^2/"a"^2. "x"/"y"`
`therefore ("x" _0, "y"_0)` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `= "b"^2/"a"^2."x"_0/"y"_0`
अत स्पर्श रेखा का समीकरण y - y0 = `"b"^2/"a"^2 . "x"_0/"y"_0 ("x" - "x"_0)`
दोनों पक्षों में `"y"_0/"b"^2` से गुणा करने पर,
`("y y"_0)/"b"^2 - ("y"_0^2)/"b"^2 = ("xx"_0)/"a"^2 - "x"_0^2/"a"^2`
`=> "xx"_0/"a"^2 - ("y y"_0)/b^2 = "x"_0^2/"a"^2 - "y"_0^2/"b"^2 = 1` ...`[because "बिंदु" "x"_0, "y"_0 "वक्र" "x"^2/"a"^2 - "y"^2/"b"^2 = 1 "पर स्थित है"]`
अत: स्पर्श रेखा का समीकरण `"xx"_0/"a"^2 - "yy"_0/"b"^2 = 1`
चूँकि स्पर्श रेखा का प्रवणता m = `"b"^2/"a"^2."x"_0/"y"_0`
`therefore` अभिलंब की प्रवणता = `-1/"m" = - ("a"^2"y"_0)/("b"^2"x"_0)`
अभिलंब का समीकरण y - y0 `= ("a"^2"y"_0)/("b"^2"x"_0) ("x" - "x"_0)`
`=> ("y" - "y"_0)/("a"^2 "y"_0) = ("x" - "x"_0)/("b"^2 "x"_0)`
`therefore ("x" - "x"_0)/("b"^2 "x"_0) + ("y - y"_0)/("a"^2 "y"_0) = 0`
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