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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12}, में दिए गए निम्नलिखित संबंध R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है:
R = {(a, b) : |a - b|, 4 का एक गुणज है}, प्रत्येक दशा में 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
उत्तर
A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
R = {(a, b) : |a - b|, 4 का एक गुणज है}
(i) स्वतुल्य:
अवयव a ∈ A के लिए, (a, a) ∈ R क्योंकि |a - a| = 0, 4 का एक गुणज है।
∴ R स्वतुल्य है।
(ii )सममित:
अब, माना (a, b) ∈ R
⇒ |a - b|, 4 का एक गुणज है।
⇒ |-(a - b)| = |b - a|, 4 का एक गुणज है |
⇒ (b, a) ∈ R
(a, b) ∈ R
∴ R सममित है।
(iii) संक्रामक:
माना (a, b) और (b, c) ∈ R.
⇒ |a - b|, 4 का गुणज है और |b - c|, 4 का एक गुणज है।
⇒ (a - c) = (a - b) + (b - c), 4 का गुणज है।
=>|a - c|= |a - b + b - c| = |a - b|+ |b - c|
=> (a - c) = (a - b) + (b - c) 4 का गुणज है
=> (a, c ) R में
[∴|a - b| 4 और |b - c| का गुणज है 4 का गुणज है]
∴ R संक्रामक है।
अंत:, R एक तुल्यता सबंध है।
1 से संबंधित अवयव इस प्रकार है: {1, 5, 9} क्योंकि
|1 - 1| = 0 जो की 4 का गुणज है।
|5 - 1| = 4 जो की 4 का गुणज है।
|9 - 1| = 8 जो की 4 का गुणज है।
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