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प्रश्न
यदि a sinθ + b cosθ = c है, तो सिद्ध कीजिए कि a cosθ – b sinθ = `sqrt(a^2 + b^2 - c^2)` है।
उत्तर
मान लें कि,
a sin θ + b cos θ = c
दोनों पक्षों को वर्ग करने पर,
(a . sin θ + cos θ . b)2 = c2
⇒ a2sin2θ + b2cos2θ + 2ab sin θ . cos θ = c2 ...[∵ (x + y)2 = x2 + 2xy + y2]
⇒ a2(1 – cos2θ) + b2(1 – sin2θ) + 2ab sinθ . cosθ = c2 ...[∵ sin2θ + cos2θ = 1]
⇒ a2 – a2 cos2θ + b2 – b2sin2θ + 2ab sinθ . cosθ = c2
⇒ a2 + b2 – c2 = a2cos2θ + b2sin2θ – 2ab sinθ . cosθ
⇒ (a2 + b2 – c2) = (a cos θ – b sin θ)2 ...[∵ a2 + b2 – 2ab = (a – b)2]
⇒ (a cos θ – b sin θ)2 = a2 + b2 – c2
⇒ a cos θ – b sin θ = `sqrt(a^2 + b^2 + c^2)`
अत: सिद्ध हुआ।
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मान निकालिए
`(sin ^2 63^@ + sin^2 27^@)/(cos^2 17^@+cos^2 73^@)`
निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यून कोण है:
`(cosec θ – cot θ)^2 = (1-cos theta)/(1 + cos theta)`
निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ को सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण जिनके लिए व्यंजक परिभाषित किया गया है, न्यून कोण हैं:
`sqrt((1+sinA)/(1-sinA)) = secA + tanA`
निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ को सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण जिनके लिए व्यंजक परिभाषित किया गया है, न्यून कोण हैं:
(sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2 = 7 + tan2 A + cot2 A
निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ को सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण जिनके लिए व्यंजक परिभाषित किया गया है, न्यून कोण हैं:
(cosec A – sin A) (sec A – cos A) = `1/(tanA+cotA)`
[संकेत: वाम पक्ष और दायाँ पक्ष को अलग - अलग सरल कीजिए।]
व्यंजक [cosec(75° + θ) – sec(15° – θ) – tan(55° + θ) + cot(35° – θ)] का मान ______ है।
यदि sin θ = `a/b` दिया है, तो cos θ से बराबर ______ है।
यदि cos 9α = sinα है और 9α < 90° है, तो tan 5α का मान ______ है।
निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
`sintheta/(1 + cos theta) + (1 + cos theta)/sintheta` = 2cosecθ
निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
(sin α + cos α) (tan α + cot α) = sec α + cosec α
