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प्रश्न
यदि a sinθ + b cosθ = c है, तो सिद्ध कीजिए कि a cosθ – b sinθ = `sqrt(a^2 + b^2 - c^2)` है।
उत्तर
मान लें कि,
a sin θ + b cos θ = c
दोनों पक्षों को वर्ग करने पर,
(a . sin θ + cos θ . b)2 = c2
⇒ a2sin2θ + b2cos2θ + 2ab sin θ . cos θ = c2 ...[∵ (x + y)2 = x2 + 2xy + y2]
⇒ a2(1 – cos2θ) + b2(1 – sin2θ) + 2ab sinθ . cosθ = c2 ...[∵ sin2θ + cos2θ = 1]
⇒ a2 – a2 cos2θ + b2 – b2sin2θ + 2ab sinθ . cosθ = c2
⇒ a2 + b2 – c2 = a2cos2θ + b2sin2θ – 2ab sinθ . cosθ
⇒ (a2 + b2 – c2) = (a cos θ – b sin θ)2 ...[∵ a2 + b2 – 2ab = (a – b)2]
⇒ (a cos θ – b sin θ)2 = a2 + b2 – c2
⇒ a cos θ – b sin θ = `sqrt(a^2 + b^2 + c^2)`
अत: सिद्ध हुआ।
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