Question

आकृतीत P हा वर्तुळाचा केंद्र असून रेख AB ही जीवा आहे. PA = 8 सेमी आणि जीवा AB वर्तुळकेंद्रापासून 4 सेमी अंतरावर असेल, तर रेखांकित भागाचे क्षेत्रफळ A काढा. (π = 3.14, `sqrt3` = 1.73)

 

Answer 1

दिलेले: त्रिज्या (r) = PA = 8 सेमी, PC = 4 सेमी

शोधा: रेखांकित भागाचे क्षेत्रफळ.

उकल: 

समजा, ∠APC = θ₁

ΔACP मध्ये, ∠ACP = 90°

cosθ₁ = `"PC"/"AP" = 4/8 = 1/2`

परंतु, cos 60° = `1/2`

∴ θ₁ = 60°

त्याचप्रमाणे, आपण सिद्ध करू शकतो, की 

∠BPC = 60°

∴ ∠APB = ∠APC + ∠BPC  ......[कोनांच्या बेरजेचा गुणधर्म]

∴ θ = 60° + 60° = 120°

वर्तुळपाकळी (P-ADB) चे क्षेत्रफळ

= `θ/360 xx pir^2`

= `120/360 xx 3.14 xx 8^2`

= `1/3 xx 3.14 xx 64`

= 66.98 सेमी² 

ΔAPC मध्ये,

sinθ₁ = `"AC"/"AP"`

∴ sin 60° = `"AC"/8`

∴ `sqrt3/2 = "AC"/8`

∴ AC = `4sqrt3` सेमी

आता, AB = 2AC .........[वर्तुळकेंद्रापासून जीवेवर टाकलेला लंब जीवेस दुभागतो.]

= `2 xx 4sqrt3`

= `8sqrt3` सेमी

∴ A(ΔAPB) = `1/2 xx "AB" xx "PC"`

= `1/2 xx 8sqrt3 xx 4`

= `16sqrt3`

= `16 xx 1.73`

= 27.68 सेमी²

रेखांकित भागाचे क्षेत्रफळ

= A(P-ADB) - A(ΔAPB)

= 66.98 - 27.68

= 39.30 सेमी²

∴ रेखांकित भागाचे क्षेत्रफळ 39.30 सेमी² आहे.