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Question
एक किसान के पास समांतर चतुर्भुज PQRS के रूप में एक खेत था। उसने RS पर कोई बिंदु A लिया और उसे बिंदु P और Q से मिला दिया। क्षेत्र को कितने भागों में विभाजित किया गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? किसान गेहूँ और दालों को खेत के बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहता है। उसे कैसे करना चाहिए?
Solution
चित्र से यह देखा जा सकता है कि बिंदु A क्षेत्र को तीन भागों में विभाजित करता है। ये भाग आकार में त्रिभुजाकार हैं - ΔPSA, ΔPAQ, और ΔQRA
ΔPSA का क्षेत्रफल + ΔPAQ का क्षेत्रफल + ΔQRA का क्षेत्रफल = PQRS का क्षेत्रफल ... (1)
हम जानते हैं कि यदि एक समांतर चतुर्भुज और एक त्रिभुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
∴ क्षेत्रफल (ΔPAQ) = 1/2क्षेत्र (PQRS) ... (2)
समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं
क्षेत्रफल (ΔPSA) + क्षेत्रफल (ΔQRA) = `1/2` क्षेत्र (PQRS) ... (3)
स्पष्ट रूप से, यह देखा जा सकता है कि किसान को त्रिकोणीय भाग PAQ में गेहूं और अन्य दो त्रिकोणीय भागों PSA और QRA में दालें या त्रिकोणीय भागों PSA और QRA में गेहूं और त्रिकोणीय भागों PAQ में दालें बोनी चाहिए।
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(i) ar (BDE) = `1/4` ar (ABC)
(ii) ar (BDE) = `1/2` ar (BAE)
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[संकेत : EC और AD को मिलाइए। दिखाओ कि BE || AC and DE || AB, आदि]
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(i) ar(PRQ) = `1/2` ar(ARC)
(ii) ar(RQC) = `3/8` ar(ABC)
(iii) ar(PBQ) = ar(ARC)
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समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 90 cm2 है। ज्ञात कीजिए : ar (ΔBEF)
एक त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ BE और CF परस्पर बिंदु G पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि ∆GBC का क्षेत्रफल चतुर्भुज AFGE के क्षेत्रफल के बराबर हैं।
निम्नलिखित आकृति में, CD || AE और CY || BA है। सिद्ध कीजिए कि ar (CBX) = ar (AXY) है।
