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Question
एक त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ BE और CF परस्पर बिंदु G पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि ∆GBC का क्षेत्रफल चतुर्भुज AFGE के क्षेत्रफल के बराबर हैं।
Solution
दिया गया है - त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ BE और CF, G पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है - ar (ΔGBC) = ar (AFCE)
उपपत्ति - माध्यिका CF एक त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुज में विभाजित करती है। इसलिए, ar(ΔBCF) = ar(ΔACF)
ar (ΔGBF) + ar (ΔGBC) = ar (AFGE) + ar (ΔGCE) ...(I)
अब, माध्यिका BE एक त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
इसलिए, ar (ΔGBF) + ar (AFGE) = ar (ΔGCE) + ar (ΔGBC) ...(II)
अब, (II) को (I) से घटाने पर, हम पाते हैं।
ar (ΔGBC) – ar (AFGE) = ar (ΔAFGE) – ar (ΔGBC)
ar (ΔGBC) + ar (ΔGBC) = ar (ΔAFGE) + ar (ΔAFGE)
2ar (ΔGBC) = 2ar (AFGE)
अत:, ar (ΔGBC) = ar (AFGE)।
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