Question

किसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का सम्पूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer 1

मान लीजिए x और y आयत की लंबाई और चौड़ाई हैं।

अर्धवृत्त की त्रिज्या ${\displaystyle =\frac{x}{2}}$

अर्द्ध-वृत्त की परिधि = ${\displaystyle \frac{\pi x}{2}.}$

खिड़की की परिधि

AB + BC + AD + DC

${\displaystyle x+2y+\frac{\pi x}{2}=10}$

⇒ 2x + 4y + πx = 20

⇒ ${\displaystyle y=\frac{20-(2+\pi )x}{4}}$

खिड़की का क्षेत्रफल = आयत का क्षेत्रफल + अर्धवृत्त का क्षेत्रफल।

${\displaystyle A=xy+\frac{1}{2}\pi {\left(\frac{x}{2}\right)}^2}$

${\displaystyle =x\left(\frac{20-(2+\pi )x}{4}\right)+\frac{\pi x^2}{8}.}$

${\displaystyle A=\frac{20x-(2+\pi )x^2}{4}+\frac{\pi x^2}{8}.}$

∴ ${\displaystyle \frac{dA}{dx}=\frac{20-(2+\pi )2x}{4}+\frac{2\pi x}{8}}$

A के अधिकतम / न्यूनतम के लिए,

${\displaystyle \frac{dA}{dx}=0}$

⇒ ${\displaystyle \frac{20-(2+\pi )2x}{4}+\frac{2\pi x}{8}=0}$

⇒ 20 - (2 + π) 2x + πx = 0

⇒ 20 + x (π - 4 - 2π) = 0

⇒ 20 - x (4 + π) = 0

⇒ ${\displaystyle x=\frac{20}{4+\pi }}$

${\displaystyle \frac{d^{2}A}{{dx}^2}=\frac{-(2+\pi )2}{4}+\frac{2\pi }{8}}$

${\displaystyle =\frac{-4-2\pi +\pi }{4}}$

${\displaystyle =\frac{-4-\pi }{4}}$

⇒ ${\displaystyle \frac{d^{2}A}{{dx}^2}<0}$

इसलिए खिड़की अधिकतम प्रकाश को स्वीकार करती है जब x = लंबाई = ${\displaystyle \frac{20}{4+\pi }}$

तथा चौड़ाई ${\displaystyle y=\frac{20-(2+\pi )\frac{20}{4+\pi }}{4}}$

${\displaystyle =\frac{80+20\pi -40-20\pi }{4(4+\pi )}}$

${\displaystyle =\frac{40}{4(4+\pi )}}$

${\displaystyle =\frac{10}{4+\pi }.}$